《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. (1)设函数$f(x) = \sin x, x \in \mathbb{R}$，对于以下三个命题：
①函数$f(x)$的值域是$[-1, 1]$；
②当且仅当$x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$时，$f(x)$取得最大值$1$；
③当且仅当$2k\pi + \pi ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{3\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$时，$f(x) ＜ 0$。
其中正确命题的个数是 (C)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 例3:
(1)C
(2)C
(1)由正弦函数$f(x)=\sin x$的图象与
性质可得.
①函数f(x)的值域为[-1,1],正确;
②当$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$时,f(x)的最大值为1,正确;
③当$2k\pi+\pi＜x＜2k\pi+2\pi,k\in\mathbf{Z}$时,f(x)＜0,故不正确.
$(2)①f(-x)=x^2\sin(-x)=-f(x),$且定义域关于原点对
称,为奇函数,所以正确;
$②f(-x)=\sin(-x)=-f(x),$但定义域不关于原点对称,
不是奇函数,所以不正确;
$③f(-x)=\sin(-x)=-f(x),$且定义域关于原点对称,为
奇函数,正确;
$④f(-x)=-x·\cos(-x)=-f(x),$且定义域关于原点对
称,为奇函数,所以正确.

(2)下列函数中，奇函数的个数为 (C)
①$y = x^2 \sin x$；
②$y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$；
③$y = \sin x, x \in [-\pi, \pi]$；
④$y = x \cos x$。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[归纳提升]

答案： 例3:
(1)C
(2)C
(1)由正弦函数$f(x)=\sin x$的图象与
性质可得.
①函数f(x)的值域为[-1,1],正确;
②当$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$时,f(x)的最大值为1,正确;
③当$2k\pi+\pi＜x＜2k\pi+2\pi,k\in\mathbf{Z}$时,f(x)＜0,故不正确.
$(2)①f(-x)=x^2\sin(-x)=-f(x),$且定义域关于原点对
称,为奇函数,所以正确;
$②f(-x)=\sin(-x)=-f(x),$但定义域不关于原点对称,
不是奇函数,所以不正确;
$③f(-x)=\sin(-x)=-f(x),$且定义域关于原点对称,为
奇函数,正确;
$④f(-x)=-x·\cos(-x)=-f(x),$且定义域关于原点对
称,为奇函数,所以正确.

例 4. 已知函数$f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$（其中$x \in \mathbb{R}, A ＞ 0, \omega ＞ 0, |\varphi| ＜ \frac{\pi}{2}$）的部分图象如图所示。

(1)求$f(x)$的解析式；
(2)请写出$g(x) = f\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$的表达式，并求出函数$y = g(x)$的图象的对称轴和对称中心。
[归纳提升]

答案： 例4:
(1)由题图可知$A=3,\frac{T}{4}=\frac{7\pi}{12}-\frac{\pi}{3},$所以$T=\pi\Rightarrow\omega=$
$2,f(x)=3\sin(2x+\varphi),$所以$\frac{2\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2},\varphi=-\frac{\pi}{6},$所以f(x)=
$3\sin(2x-\frac{\pi}{6}).$
(2)由
(1)知$g(x)=f(x+\frac{\pi}{3})=3\sin[2(x+\frac{\pi}{3})-\frac{\pi}{6}]=$
$3\sin(2x+\frac{\pi}{2})=3\cos2x,$
令$2x=k\pi(k\in\mathbf{Z}),$所以所求的对称轴为直线$x=\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z}),$
令$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbf{Z}),$
$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}(k\in\mathbf{Z}),$所以所求的对称中心为
$(\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4},0)(k\in\mathbf{Z}).$