《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例2. 如图，若$D$是$\triangle ABC$内的一点，且$\overrightarrow{AB}^2 - \overrightarrow{AC}^2 = \overrightarrow{DB}^2 - \overrightarrow{DC}^2$，求证：$AD \perp BC$.

[归纳提升]

答案： 例2:【证明】设$\overrightarrow{AB}=a,\overrightarrow{AC}=b,\overrightarrow{AD}=e,\overrightarrow{DB}=c,\overrightarrow{DC}=d$,则$a = e + c,b = e + d$.
$\therefore a^2 - b^2=(e + c)^2-(e + d)^2=c^2 + 2e· c - 2e· d - d^2$.
由已知$a^2 - b^2=c^2 - d^2$,
$\therefore c^2 + 2e· c - 2e· d - d^2=c^2 - d^2,\therefore e·(c - d)=0$.
$\because\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=d - c$,
$\therefore\overrightarrow{AD}·\overrightarrow{BC}=e·(d - c)=0$,
$\therefore\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{BC}$.即$AD\perp BC$.

对点训练2
$\triangle ABC$所在平面上一点$P$满足$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC} = m\overrightarrow{AB}(m ＞ 0,m$为常数$)$，若$\triangle ABP$的面积为$6$，则$\triangle ABC$的面积为 (C)

A.$6$
B.$9$
C.$12$
D.$24$

答案： 对点训练2:C取AC的中点O,则$\because\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=m\overrightarrow{AB}(m＞0,m为常数)$,$\therefore m\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{PO},\therefore$C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍,故$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABP}=12$.故选C.

例3. 在风速为$75(\sqrt{6} - \sqrt{2}) km/h$的西风中，飞机以$150 km/h$的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.
[归纳提升]

答案： 例3:设向量a表示风速,b表示无风时飞机的航行速度,c表示有风时飞机的航行速度,则$c = a + b$.
如图,作向量$\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b,\overrightarrow{OC}=c$,则四边形OACB为平行四边形.
过C、B分别作OA的垂线,交AO的延长线于D、E点.
由已知,$|\overrightarrow{OA}|=75(\sqrt{6}-\sqrt{2}),|\overrightarrow{OC}|=150,\angle COD = 45^{\circ}$.
在$Rt\triangle COD$中,$OD = OC\cos45^{\circ}=75\sqrt{2},CD = 75\sqrt{2}$.
又$ED = BC = OA = 75(\sqrt{6}-\sqrt{2})$,
$\therefore OE = OD + ED = 75\sqrt{6}$.又$BE = CD = 75\sqrt{2}$.
在$Rt\triangle OEB$中,$OB = \sqrt{OE^2 + BE^2}=150\sqrt{2}$,
$\sin\angle BOE=\frac{BE}{OB}=\frac{1}{2}$,
$\therefore|\overrightarrow{OB}|=150\sqrt{2},\angle BOE = 30^{\circ}$.
故没有风时飞机的航速为$150\sqrt{2}km/h$,航向为西偏北$30^{\circ}$.