《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练1
如图所示，$\triangle ABC$中$BC = 8 cm$,$BC$边上的高$AD = 6 cm$,试用斜二测画法画出其直观图.

答案：
对点训练1:
(1)在三角形ABC中建立如图1所示的直角坐标系xOy,再建立如图2所示的直角坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.

(2)在坐标系x'O'y'中,在x'轴上截取O'B'=OB,O'C'=OC;在y'轴上截取O'A',使O'A'=$\frac{1}{2}$OA.
(3)连接A'B',C'A',得到△A'B'C',即为△ABC的直观图.

例2. 画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为$1 cm$,$2 cm$,高为$2 cm$).
【分析】 解答本题时可先画出上、下底面正三角形的直观图，再画出整个正三棱台的直观图.
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答案：
例2:
(1)画轴,以底面△ABC的中心O为原点,OC所在直线为y轴,平行于AB的直线为x轴,使∠xOy=45°,以上底面△A'B'C'的中心O'与O的连线为z轴.
(2)画出底面,在xOy平面上画△ABC的直观图,在y轴上量取OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm,OD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$cm.过D作AB//x轴,AB=2cm,且以D为中点,连接AC,BC,则△ABC为下底面三角形的直观图.
(3)画上底面,在z轴上截取OO'=2cm,过O'作x'轴//x轴,y'轴//y轴,在y'轴上量取O'C'=$\frac{\sqrt{3}}{6}$cm,O'D'=$\frac{\sqrt{3}}{12}$cm,过D'作A'B'//x'轴,A'B'=1cm,且以D'为中点,则△A'B'C'为上底面三角形的直观图.
(4)连线成图,连接AA',BB',CC',并擦去辅助线,则三棱台ABC - A'B'C'即为所要画的三棱台的直观图.

对点训练2
用斜二测画法画长、宽、高分别是$4 cm$,$3 cm$,$2 cm$的长方体$ABCD - A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$的直观图.

答案：
对点训练2:画法:
(1)画轴.如图所示,画x'轴、y'轴、z'轴,三轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°.
(2)画底面.以点O'为中点,在x'轴上取线段MN,使MN=4cm;在y'轴上取线段PQ,使PQ=$\frac{3}{2}$cm.分别过点M与点N作y'轴的平行线,分别过点P和点Q作x'轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D.四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D'并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.

例3. (1)已知$\triangle ABC$是正三角形，且它的边长为$a$,那么$\triangle ABC$的平面直观图$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$的面积为 (D)
A. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
B. $\frac{\sqrt{3}}{8} a^2$
C. $\frac{\sqrt{6}}{8} a^2$
D. $\frac{\sqrt{6}}{16} a^2$
(2)如图,矩形$O^\prime A^\prime B^\prime C^\prime$是水平放置的一个平面图形的直观图，其中$O^\prime A^\prime = 6$,$O^\prime C^\prime = 3$,$B^\prime C^\prime // x^\prime$轴，则原平面图形的面积为36$\sqrt{2}$.

【分析】 利用斜二测画法的规则将直观图复原.
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答案：
例3:
(1)D
(2)36$\sqrt{2}$
(1)如图①,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.

如图②,建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,由直观图画法知:A'B'=AB=a,O'C'=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a,过C'作C'D'⊥O'x'于D',则C'D'=$\frac{\sqrt{2}}{2}$O'C'=$\frac{\sqrt{6}}{8}$a.所以△A'B'C'的面积是S=$\frac{1}{2}$A'B'·C'D'=$\frac{1}{2}$a·$\frac{\sqrt{6}}{8}$a=$\frac{\sqrt{6}}{16}$a².
(2)在直观图中,设B'C'与y'轴的交点为D',则易得O'D'=3$\sqrt{2}$,所以原平面图形为一边长为6,高为6$\sqrt{2}$的平行四边形,所以其面积为6×6$\sqrt{2}$=36$\sqrt{2}$.