《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 若$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) ＜ 0$，且$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) ＞ 0$，则$\theta$是(B)

A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角

答案： 1 B 因为$\cos \theta ＜ 0,\sin \theta ＞ 0,\therefore \theta$是第二象限角.

2. 已知$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)$的结果是(B)

A.$\frac{4}{5}$
B.$-\frac{4}{5}$
C.$\pm \frac{4}{5}$
D.$\frac{3}{5}$

答案： 2 B $\because \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\frac{3}{5}$,
$\therefore -\sin \alpha = -\frac{3}{5},\therefore \sin \alpha = \frac{3}{5}$,
又$\alpha$是第二象限角,$\therefore \cos \alpha = -\frac{4}{5}$
$\therefore \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos \alpha = -\frac{4}{5}$

3. 已知$\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right) = -\frac{3}{5}$，则$\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$等于(C)

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$-\frac{3}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

答案： 3 C $\cos(x + \frac{\pi}{3}) = \sin[\frac{\pi}{2} - (x + \frac{\pi}{6})] = \sin(\frac{\pi}{3} - x) = -\frac{3}{5}$. 故选C.

4. 若$\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$，且$\alpha$是第四象限角，则$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = $$\frac{2\sqrt{6}}{5}$$$.

答案： 4 $\frac{2\sqrt{6}}{5}$ $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

5. 化简：$\frac{\sin(\theta - 7\pi) \cos\left(-\frac{\pi}{2} - \theta\right) \cos(6\pi - \theta)}{\sin\left(\theta - \frac{3\pi}{2}\right) \sin(-\theta - 8\pi)}$

答案： 5 原式$=\frac{-\sin(-\theta + 7\pi)\cos(\frac{\pi}{2} + \theta)\cos \theta}{-\sin(-\theta + \frac{3\pi}{2})[-\sin(\theta + 8\pi)]}$
$=\frac{-\sin(-\theta + \pi)(-\sin \theta)\cos \theta}{\cos \theta(-\sin \theta)}$
$=\frac{-\sin \theta(-\sin \theta)\cos \theta}{\cos \theta(-\sin \theta)}$
$= -\sin \theta$.

知识点1 正弦函数的图象

$y = \sin x, x \in \mathbf{R}$

答案： 由于题目中仅给出了知识点“正弦函数的图象”及插图提示，未明确具体问题（如判断图象特征、求定义域值域、判断单调性等），无法进行针对性解答。请提供具体的题目内容（如选择题选项、填空题问题或解答题要求），以便给出准确的解析和答案。

知识点2 正弦函数的性质
(1) 定义域：$\mathbf{R}$.
(2) 值域：$[-1, 1]$.
当且仅当$x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$时，正弦函数$y = \sin x$取得最大值$1$；
当且仅当$x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} (k \in \mathbf{Z})$时，正弦函数$y = \sin x$取得最小值$-1$.
(3) 周期性：最小正周期为$2\pi$.
(4) 单调性：单调增区间$\left[2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}\right] (k \in \mathbf{Z})$，
单调减区间$\left[2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}\right] (k \in \mathbf{Z})$.
(5) 奇偶性：正弦函数$y = \sin x$在$\mathbf{R}$上是奇函数.
(6) 对称性：对称轴$x = k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$，对称中心$(k\pi, 0), k \in \mathbf{Z}$.

答案： 题目中仅给出了正弦函数的性质知识点，未提出具体问题，无法进行解答。请提供具体题目内容以便作答。