《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练1
(1)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距

为

$\frac{\sqrt{3}a}{2}$的军事基地$C$和$D$，测得蓝方两支精锐部队分别在$A$处和$B$处，且$\angle ADB = 30^{\circ}$，$\angle BDC = 30^{\circ}$，$\angle DCA = 60^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为(A)

A.$\frac{\sqrt{6}}{4}a$
B.$\frac{3 + \sqrt{3}}{4}a$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
D.$\sqrt{6}a$
(2)如图所示，$A,B$两点在一条河的两岸，测量者在$A$的同侧，且$B$点不可到达，测量者在$A$点所在的岸边选定一点$C$，测出$AC = 60\ m$，$\angle BAC = 75^{\circ}$，$\angle BCA = 45^{\circ}$，则$A,B$两点间的距离为$20\sqrt{6}$.

答案： 对点训练1:
(1)$A$
(2)$20\sqrt{6}$m
(1)在$\triangle BCD$中，$\angle CBD = 180^{\circ}-30^{\circ}-105^{\circ}=45^{\circ}$，由正弦定理得$\frac{BC}{\sin 30^{\circ}}=\frac{CD}{\sin 45^{\circ}}$，则$BC=\frac{CD\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{4}a$。
在$\triangle ACD$中，$\angle CAD = 180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，所以$\triangle ACD$为等边三角形。因为$\angle ADB = \angle BDC$，所以$BD$为正$\triangle ACD$的中垂线，所以$AB = BC=\frac{\sqrt{6}}{4}a$。
(2)$\angle ABC = 180^{\circ}-75^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$，所以由正弦定理，得$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$，$\therefore AB=\frac{AC\sin C}{\sin B}=\frac{60×\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=20\sqrt{6}$(m)。

例2.如图所示，在山顶铁塔上$B$处测得地面上一点$A$的俯角为$\alpha$，在塔底$C$处测得$A$处的俯角为$\beta$.已知铁塔$BC$部分的高为$h$，则山$CD$的高度为(C)

A.$\frac{h\cos\beta\sin\alpha}{\sin(\alpha - \beta)}$
B.$\frac{h\sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta\sin\alpha}$
C.$\frac{h\cos\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}$
D.$\frac{h\cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta)\sin\beta}$

►[归纳提升]

答案： 例2:$C$ 在$\triangle ABC$中，$\angle BCA = 90^{\circ}+\beta$，$\angle ABC = 90^{\circ}-\alpha$，$\angle BAC = \alpha - \beta$，$\angle CAD = \beta$。根据正弦定理，得$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC}$，即$\frac{AC}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}=\frac{BC}{\sin(\alpha - \beta)}$，$\therefore AC=\frac{BC\cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta)}=\frac{h\cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta)}$。
在$Rt\triangle ACD$中，$CD = AC\sin\angle CAD = AC\sin\beta =\frac{h\cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta)}\sin\beta$，即山的高度为$\frac{h\cos\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}$。故选$C$。

对点训练2
如图所

示

，$A,B$是水平面上的两个点，相距$800\ m$，在$A$点测得山顶$C$的仰角为$45^{\circ}$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，又在$B$点测得$\angle ABD = 45^{\circ}$，其中$D$点是点$C$到水平面的垂足，求山高$CD$.($提示:\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$).

答案： 对点训练2:由于$CD\perp$平面$ABD$，$\angle CAD = 45^{\circ}$，所以$CD = AD$。
因此只需在$\triangle ABD$中求出$AD$即可。
在$\triangle ABD$中，$\angle BDA = 180^{\circ}-45^{\circ}-120^{\circ}=15^{\circ}$，由$\frac{AB}{\sin 15^{\circ}}=\frac{AD}{\sin 45^{\circ}}$，得$AD=\frac{AB·\sin 45^{\circ}}{\sin 15^{\circ}}=\frac{800×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=800(\sqrt{3}+1)$(m)。
即山的高度为$800(\sqrt{3}+1)$m。