《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练2
(1)在$\triangle ABC$中，$\cos C = \frac{2}{3},AC = 4,BC = 3$，则$\cos B =$ (A)
A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
(2)在$\triangle ABC$中，$a = \sqrt{3} + 1,b = \sqrt{3} - 1,c = \sqrt{10}$，则$\triangle ABC$的最大角的度数为$120^{\circ}$.

答案： 对点训练2:
(1)A
(2)$120^{\circ}$
(1)$\because$在$\triangle ABC$中,$\cos C=$
$\frac{2}{3}, A C=4, B C=3$,
根据余弦定理:$A B^{2}=A C^{2}+B C^{2}-2 A C · B C · \cos C$,
$A B^{2}=4^{2}+3^{2}-2 × 4 × 3 × \frac{2}{3}$,可得$A B^{2}=9$,即$A B=3$,
由$\cos B=\frac{A B^{2}+B C^{2}-A C^{2}}{2 A B · B C}=\frac{9+9-16}{2 × 3 × 3}=\frac{1}{9}$,故$\cos B=\frac{1}{9}$
故选A.
(2)由$c＞a＞b$,知角$C$为最大角,
则$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=-\frac{1}{2}$,
$\therefore C=120^{\circ}$,
即此三角形的最大角为$120^{\circ}$.

例3. 在$\triangle ABC$中，若$b^{2}\sin^{2}C + c^{2}\sin^{2}B = 2bc\cos B\cos C$，试判断$\triangle ABC$的形状.
【分析】利用余弦定理将已知等式化为边的关系.

答案： 例3:已知等式变形为$b^{2}(1-\cos ^{2} C)+c^{2}(1-\cos ^{2} B)=$
$2 b c \cos B · \cos C$,
$\therefore b^{2}+c^{2}=b^{2} \cos ^{2} C+c^{2} \cos ^{2} B+2 b c \cos B · \cos C$,
$\therefore b^{2} \cos ^{2} C+c^{2} \cos ^{2} B+2 b c \cos B \cos C=(b \cos C+c \cos B)^{2}=$
$a^{2},\therefore b^{2}+c^{2}=a^{2},\therefore \triangle ABC$为直角三角形.

对点训练3
在$\triangle ABC$中，$a\cos A + b\cos B = c\cos C$，试判断$\triangle ABC$的形状.

答案： 对点训练3:由余弦定理知$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$
$\cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}, \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$
代入已知条件得
$a · \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}+b · \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}+c · \frac{c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2 a b}=0$,
通分得
$a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+c^{2}(c^{2}-a^{2}-b^{2})=0$,
展开整理得$(a^{2}-b^{2})^{2}=c^{4}$.
$\therefore a^{2}-b^{2}=\pm c^{2}$,即$a^{2}=b^{2}+c^{2}$或$b^{2}=a^{2}+c^{2}$.
根据勾股定理知$\triangle ABC$是直角三角形.

例4. 在$\triangle ABC$中，$a,b,c$分别是角$A,B,C$的对边，且$b^{2} + c^{2} - a^{2} = bc$.
(1)求角$A$的大小；
(2)若$a = 1$，求$\triangle ABC$面积的最大值.

答案： 例4:
(1)$\because b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$,
$\therefore \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2}$.
$\because 0＜A＜\pi,\therefore A=\frac{\pi}{3}$.
(2)$\because \sin A=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore b c=b^{2}+c^{2}-a^{2} \geqslant 2 b c-a^{2}, \therefore b c \leqslant a^{2}$,
故$S_{\triangle ABC}=\frac{b c}{2} \sin A \leqslant \frac{a^{2}}{2} · \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$,
故所求$\triangle ABC$面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$,

对点训练4
在$\triangle ABC$中，$A = 60^{\circ},AC = 1,\triangle ABC$的面积为$\sqrt{3}$，则$BC$的长为$\sqrt{13}$.

答案： 对点训练4:$\sqrt{13}$ 由三角形面积公式可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} A C ·$
$A B · \sin A=\frac{1}{2} × 1 × A B × \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$.
解得$A B=4$,
由余弦定理可得$B C^{2}=1^{2}+4^{2}-2 × 1 × 4 × \frac{1}{2}=13$,
所以$B C=\sqrt{13}$.