《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. $-\frac{10\pi}{3}$转化为角度是 (B)

A.$-300°$
B.$-600°$
C.$-900°$
D.$-1\ 200°$

答案： 1 B $\because 1 rad = (\frac{180}{\pi})°$,$\therefore -\frac{10\pi}{3} = -(\frac{180}{\pi} × \frac{10\pi}{3})° = -600°$.

2. 与$1°$角终边相同的角的集合是 (C)

A.$\{ \alpha \mid \alpha = k · 360° + \frac{\pi}{180}, k \in \mathbf{Z} \}$
B.$\{ \alpha \mid \alpha = k · 360° + \frac{\pi}{180}, k \in \mathbf{Z} \}$
C.$\{ \alpha \mid \alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{180}, k \in \mathbf{Z} \}$
D.$\{ \alpha \mid \alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{180}, k \in \mathbf{Z} \}$

答案： 2 C $\because 1^0 = \frac{\pi}{180} rad$,$\therefore \alpha = 2k\pi + \frac{\pi}{180}$,$k \in \mathbf{Z}$.

3. 已知扇形面积为$\frac{3}{8}\pi$，半径是$1$，则扇形的圆心角是 (C)

A.$\frac{3}{16}\pi$
B.$\frac{3}{8}\pi$
C.$\frac{3}{4}\pi$
D.$\frac{3}{2}\pi$

答案： 3 C 设扇形圆心角为$\alpha$,则$S = \frac{1}{2}\alpha R^2 = \frac{3}{8}\pi$,$\therefore \alpha = \frac{3}{4}\pi$.

4. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮$50$齿，小轮$20$齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是 (D)

A.$\frac{4\pi}{5}$
B.$\frac{5\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{5}$
D.$5\pi$

答案： 4 D 因为相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，所以当大轮转动一周时，大轮转动了50个齿，所以小轮此时转动$\frac{50}{20} =\frac{5}{2}$周，即小轮转动的角度为$\frac{5}{2} × 2\pi = 5\pi$.故选D.

5. 把下列各角化为$2k\pi + \alpha, k \in \mathbf{Z}, 0 \leq \alpha ＜ 2\pi$的形式，并判断该角是第几象限角.
(1) $\frac{27}{4}\pi$;
(2) $-1\ 104°$.

答案： 5
(1)$\frac{27}{4}\pi = 6\pi + \frac{3\pi}{4}$
因为$\frac{3\pi}{4}$是第二象限角，所以$\frac{27}{4}\pi$是第二象限角.
(2)$-1104° = -1104 × \frac{\pi}{180} = -\frac{92}{15}\pi = -8\pi + \frac{28}{15}\pi$.
因为$\frac{28}{15}\pi$是第四象限角，所以$-1104°$是第四象限角.

知识点1 锐角的正弦函数和余弦函数
如图，任意角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P(u,v)$，仿照锐角三角函数的定义，把点$P$的纵坐标$v$定义为角$\alpha$的正弦函数值，记作$v =$$\sin\ \alpha$；把点$P$的横坐标$u$定义为角$\alpha$的余弦函数值，记作$u =$$\cos\ \alpha$.

答案： 知识点1 $\sin\ \alpha$ $\cos\ \alpha$

知识点2 任意角的正弦和余弦函数
设角$\alpha$的终边上除原点外的一点$Q(x,y)$，则$r = |OQ| =$$\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$，则$\sin\alpha=\frac{MQ}{|OQ|}=\quad\quad$，$\cos\alpha=\frac{OM}{|OQ|}=\quad\quad$.

答案： 知识点2 $\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ $\frac{y}{r}$ $\frac{x}{r}$