《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1.(多选)若$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是平面$\alpha$内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是(BC)

A.$\lambda\boldsymbol{e}_{1} + \mu\boldsymbol{e}_{2} (\lambda, \mu \in \mathbf{R})$可以表示平面$\alpha$内的所有向量
B.对于平面$\alpha$中的任一向量$\boldsymbol{a}$，使$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{e}_{1} + \mu\boldsymbol{e}_{2}$的实数$\lambda$，$\mu$有无数多对
C.$\lambda$${1}$，$\mu$${1}$，$\lambda$${2}$，$\mu$${2}$均为实数，且向量$\lambda$${1}\boldsymbol{e}_{1} + \mu$${1}\boldsymbol{e}_{2}$与$\lambda$${2}\boldsymbol{e}_{1} + \mu$${2}\boldsymbol{e}_{2}$共线，则有且只有一个实数$\lambda$，使$\lambda$${1}\boldsymbol{e}_{1} + \mu$${1}\boldsymbol{e}_{2} = \lambda(\lambda$${2}\boldsymbol{e}_{1} + \mu$${2}\boldsymbol{e}_{2})$
D.若存在实数$\lambda$，$\mu$，使$\lambda\boldsymbol{e}_{1} + \mu\boldsymbol{e}_{2} = \boldsymbol{0}$，则$\lambda = \mu = 0$
【分析】 根据平面向量基本定理结合线性运算分析判断.
[归纳提升]

答案： 例1：BC 由题意可知:$\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$可以看成一组基底向量，根据平面向量基本定理可知:A,D 正确，B 不正确;当 $\lambda_1 = \lambda_2 = \mu_1 = \mu_2 = 0$ 时，则 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_1\boldsymbol{e}_2 = \lambda_2\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2 = 0$，此时任意实数 $\lambda$ 均有 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_1\boldsymbol{e}_2 = \lambda(\lambda_2\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2)$，故 C 不正确;故选 BC.

对点训练1
下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.其中，说法正确的为(B)

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

答案： 对点训练1：B 平面内只要不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，有无数组，①错误，②正确;由平面向量基本定理可得，平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的，③正确. 故选 B.

例2.(1)$D$，$E$，$F$分别为$\triangle ABC$的边$BC$，$CA$，$AB$上的中点，且$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}$，给出下列结论：
①$\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$；②$\overrightarrow{BE} = \boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}$；③$\overrightarrow{CF} = -\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}$；④$\overrightarrow{EF} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$.
其中正确的结论的序号为①②③.
(2)如图，已知梯形$ABCD$中，$AB // CD$，$AB = 2CD$，$E$，$F$分别是$DC$，$AB$的中点，设$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}$，试用$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$表示$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{FC}$.
【分析】 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
[归纳提升]

答案：
例2：
(1)①②③
(2)见解析
【解析】
(1)如图，$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = -\boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} = -\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，①正确;$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$，②正确;$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = -\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b} + \frac{1}{2}(-\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = \frac{1}{2}\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，③正确;④$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a}$，④不正确.
(2)因为 $DC// AB$，$AB = 2DC$，$E,F$ 分别是 $DC,AB$ 的中点，所以$\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$.
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}= -\frac{1}{2} × \frac{1}{2}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} = \frac{1}{4}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$.

对点训练2
如图，在$\triangle OAB$中，$P$为线段$AB$上的一点，$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{PA}$，则 (A)

A.$x = \dfrac{2}{3}$，$y = \dfrac{1}{3}$
B.$x = \dfrac{1}{3}$，$y = \dfrac{2}{3}$
C.$x = \dfrac{1}{4}$，$y = \dfrac{3}{4}$
D.$x = \dfrac{3}{4}$，$y = \dfrac{1}{4}$

答案： 对点训练2：A $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$.
$\therefore x = \frac{2}{3},y = \frac{1}{3}$.