《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. (1)若 $D$ 点在三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上,且$\overrightarrow { C D } = 4 \overrightarrow { D B } =$${ r } \overrightarrow { A B } + s \overrightarrow { A C }$,则 $3 r + s$ 的值为

(C)

A.$\frac { 1 6 } { 5 }$
B.$\frac { 1 2 } { 5 }$
C.$\frac { 8 } { 5 }$
D.$\frac { 4 } { 5 }$

答案：
(1)C
(1)因为$\overrightarrow{CD}=4\overrightarrow{DB}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$,
所以$\overrightarrow{CD}=\frac{4}{5}\overrightarrow{CB}=\frac{4}{5}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$,
所以$r=\frac{4}{5},s=-\frac{4}{5}$,所以$3r + s=\frac{12}{5}-\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$.

(2)如图所示,正方形 $ABCD$ 中,$M$ 是 $BC$ 的中点,若$\overrightarrow { A C } = \lambda \overrightarrow { A M } + \mu \overrightarrow { B D }$,则 $\lambda + \mu$ 等于
(B)


A.$\frac { 4 } { 3 }$
B.$\frac { 5 } { 3 }$
C.$\frac { 1 5 } { 8 }$
D.2
►[归纳提升]

答案：
(2)B
(2)因为$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{BD}$
$=\lambda(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM})+\mu(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})$
$=\lambda(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})+\mu(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$
$=(\lambda-\mu)\overrightarrow{AB}+(\frac{\lambda}{2}+\mu)\overrightarrow{AD}$,
且$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$,所以$\begin{cases}\lambda-\mu=1,\frac{1}{2}\lambda+\mu=1,\end{cases}$得$\begin{cases}\lambda=\frac{4}{3},\\\mu=\frac{1}{3},\end{cases}$
所以$\lambda+\mu=\frac{5}{3}$,故选B.