《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练3
(1)水平放置的正方形$ABCO$如图所示，在平面直角坐标系$xOy$中，点$B$的坐标为$(4,4)$，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点$B^\prime$到$x^\prime$轴的距离为$\sqrt{2}$.

(1)题图 (2)题图
(2)某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形$A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$(如图所示)，$\angle A^\prime B^\prime C^\prime = 45°$,$A^\prime D^\prime = \frac{1}{2} B^\prime C^\prime = 1$,则该平面图形$ABCD$的面积为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

答案：
对点训练3:
(1)$\sqrt{2}$
(2)$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
(1)由斜二测画法画出的直观图如图所示,作B'E⊥x'轴于E,在Rt△B'EC'中,B'C'=2,∠B'C'E=45°,所以B'E=B'C'sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$.
(2)过点A',D'作x轴的垂线,交x轴于E,F,已知A'D'=$\frac{1}{2}$B'C'=1,则EF=A'D'=1,B'C'=2,因为四边形A'B'C'D'是等腰梯形,所以B'E=FC'=$\frac{1}{2}$(B'C'-EF)=$\frac{1}{2}$×(2 - 1)=$\frac{1}{2}$,
∵∠A'B'C'=45°,
∴A'B'=$\frac{B'E}{cos45°}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$.
平面图形ABCD的实际图形为直角梯形,如图所示：
AB=2A'B'=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$,AD=A'D'=1,BC=B'C'=2,
所以该平面图形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$(AD + BC)·AB=$\frac{1}{2}$(1 + 2)×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

1. 下列关于直观图的说法不正确的是 (A)

A.原图形中平行于$y$轴的线段，对应线段平行于直观图中$y^\prime$轴，长度不变
B.原图形中平行于$x$轴的线段，对应线段平行于直观图中$x^\prime$轴，长度不变
C.画与直角坐标系$xOy$对应的$x^\prime O^\prime y^\prime$时，$\angle x^\prime O^\prime y^\prime$可以画成$135°$
D.在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同

答案： 1.A 平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一半,故A错.

2. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中错误的是 (A)

A.相等的线段在直观图中仍然相等
B.相等的角在直观图中不一定相等
C.平行的线段在直观图中仍然平行
D.互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直

答案：
2.A 如图:四边形OABC为正方形,

由斜二测画法可得其直观图如下:

因为OA=OC,而O'A'≠O'C',故相等的线段在直观图中仍然相等这种说法错误,A错误;因为∠OAB=∠ABC,而∠O'A'B'≠∠A'B'C'故相等的角在直观图中不一定相等这种说法正确,B正确;由斜二测画法性质可得平行的线段在直观图中仍然平行,C正确;因为OA⊥AB,而O'A',A'B'不垂直,所以互相垂直的线段在直观图中不一定互相垂直这种说法正确,D正确.故选A.

3. 若把一个高为$10 cm$的圆柱的底面画在$x^\prime O^\prime y^\prime$平面上，则圆柱的高应画成 (A)

A.平行于$z^\prime$轴且大小为$10 cm$
B.平行于$z^\prime$轴且大小为$5 cm$
C.与$z^\prime$轴成$45°$且大小为$10 cm$
D.与$z^\prime$轴成$45°$且大小为$5 cm$

答案： 3.A 平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.

4. 如图所示，$\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$是水平放置的$\triangle ABC$的直观图，$A^\prime B^\prime // y^\prime$轴，$B^\prime C^\prime // x^\prime$轴，且$A^\prime B^\prime = 2$,$B^\prime C^\prime = 3$，则$\triangle ABC$中，$AC =$5.

答案： 4.5 由题意及斜二测画法规则可得,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2A'B'=4,BC=B'C'=3,故AC=$\sqrt{4^{2}+3^{2}}$=5.

5. 如图所示，四边形$A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$是一个水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形$ABCD$的形状是直角梯形

答案： 5.直角梯形 根据直观图可知,A'B',C'D'均与x'轴平行且A'B'≠C'D',A'D'与y'轴平行,所以在平面图形中,AB//CD,AB≠CD,AB⊥AD,AD⊥CD,故平面图形ABCD是一个直角梯形.