《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. 已知角$\alpha$的终边交单位圆于点$P\left(m,-\frac{1}{3}\right)$，则$\sin\alpha+\cos\alpha=$$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$或$\frac{-2\sqrt{2}-1}{3}$.
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答案：
例1:$\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$或$\frac{-2\sqrt{2}-1}{3}$ 如图所示，在$\triangle OAP$中，由勾股定理可得$m^{2}+(-\frac{1}{3})^{2}=1$，解得$m=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

当$m=\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，$\sin\ \alpha=-\frac{1}{3}$，$\cos\ \alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
此时，$\sin\ \alpha+\cos\ \alpha=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$；
当$m=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，$\sin\ \alpha=-\frac{1}{3}$，$\cos\ \alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
此时$\sin\ \alpha+\cos\ \alpha=\frac{-2\sqrt{2}-1}{3}$

对点训练1
在平面直角坐标系中，以$x$轴的非负半轴为角的始边，如果角$\alpha,\beta$的终边分别与单位圆交于点$\left(\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right)$和$\left(-\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$，那么$\sin\alpha\cos\beta=$

A.$-\frac{36}{65}$
B.$-\frac{3}{13}$
C.$\frac{4}{13}$
D.$\frac{48}{65}$

答案： 对点训练1:B 由正、余弦函数的定义知，$\sin\ \alpha=\frac{5}{13}$，$\cos\ \beta=-\frac{3}{5}$，$\therefore\sin\ \alpha\cos\ \beta=-\frac{3}{13}$

例2. (1) 已知$P(-2,y)$是角$\alpha$终边上一点，且$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$\cos\alpha=$$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2) 已知角$\alpha$的终边落在射线$y = 2x(x\geq0)$上，求$\sin\alpha,\cos\alpha$的值.
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答案： 例2:
(1)$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2)见解析
【解析】
(1)因为$r=\sqrt{4+y^{2}}$，所以$\sin\ \alpha=\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{y^{2}+4}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$。
所以$y＜0$，所以$y=-1$，$r=\sqrt{5}$，
所以$\cos\ \alpha=\frac{x}{r}=\frac{-2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(2)方法一:设射线$y=2x(x\geq0)$与单位圆的交点为$P(x_{0},y_{0})$，则$\begin{cases}y_{0}=2x_{0}\\x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1\\x_{0}\geq0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_{0}=\frac{\sqrt{5}}{5}\\y_{0}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\end{cases}$即$P(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5})$，所以$\sin\ \alpha=y_{0}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\ \alpha=x_{0}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
方法二:设点$P(a,2a)$是角$\alpha$终边上任意一点，其中$a＞0$。因为$r=|OP|=\sqrt{a^{2}+4a^{2}}=\sqrt{5}a$（$O$为坐标原点），所以$\sin\ \alpha=\frac{y}{r}=\frac{2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\ \alpha=\frac{x}{r}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

对点训练2
(1) 已知角$\alpha$的终边经过点$\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)$，则$\sin\alpha=$$-\frac{1}{2}$，$\cos\alpha=$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2) 已知角$\alpha$的终边经过点$P(-x,-6)$，且$\cos\alpha=-\frac{5}{13}$，则$\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=$$-\frac{2}{3}$.

答案： 对点训练2:
(1)$-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2)$-\frac{2}{3}$
(1)因为$(-\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(-\frac{1}{2})^{2}=1$，
所以点$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$在单位圆上，由三角函数的定义知$\sin\ \alpha=-\frac{1}{2}$，$\cos\ \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2)因为角$\alpha$的终边经过点$P(-x,-6)$，且$\cos\ \alpha=-\frac{5}{13}$，
所以$\cos\ \alpha=\frac{-x}{\sqrt{x^{2}+36}}=-\frac{5}{13}$，解得$x=\frac{5}{2}$，所以$P(-\frac{5}{2},-6)$，
所以$\sin\ \alpha=\frac{-12}{13}$，则$\frac{1+\cos\ \alpha}{\sin\ \alpha}=\frac{1-\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=\frac{\frac{8}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\frac{2}{3}$。