《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 2. 判断下列三角函数值的符号.
(1)$\sin4 · \cos4$；
(2)$\sin8 · \cos8$.
【分析】 确定$4\mathrm{rad},8\mathrm{rad}$所在象限，则符号易定.

答案：
(1)$\because \pi ＜ 4 ＜ \frac{3\pi}{2},\therefore \sin 4 ＜ 0,\cos 4 ＜ 0$，
$\therefore \sin 4 · \cos 4 ＞ 0$;
(2)$\because \frac{5}{2}\pi ＜ 8 ＜ 3\pi$，即$8 rad$的角是第二象限角，
$\therefore \sin 8 ＞ 0,\cos 8 ＜ 0,\therefore \sin 8 · \cos 8 ＜ 0$.

对点训练2
(1) 若$\cos\theta ＜ 0$且$\sin\theta ＞ 0$，则$\frac{\theta}{2}$是第C象限角.
A.一
B.三
C.一或三
D.任意象限角

答案：
(1)C
(2)见解析
【解析】
(1)由$\cos \theta ＜ 0$且$\sin \theta ＞ 0$,知$\theta$是第二象限角，
所以$\frac{\theta}{2}$是第一或三象限角.

(2) 判断下列各式的符号：
①$\sin3 · \cos4 · \tan5$；
②$\alpha$是第二象限角，$\sin\alpha · \cos\alpha$.

答案：
(2)①$\frac{\pi}{2} ＜ 3 ＜ \pi,\pi ＜ 4 ＜ \frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2} ＜ 5 ＜ 2\pi$,
$\therefore \sin 3 ＞ 0,\cos 4 ＜ 0,\tan 5 ＞ 0,\therefore \sin 3 · \cos 4 · \tan 5 ＞ 0$.
②$\because \alpha$是第二象限角，$\therefore \sin \alpha ＞ 0,\cos \alpha ＜ 0,\therefore \sin \alpha\cos \alpha ＜ 0$.

例 3. (1) 求函数$y = \cos x\left( - \frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{6}\right)$的值域.

答案：
(1)$\because y = \cos x$在区间$[ - \frac{\pi}{3},0]$上是递增的，
在区间$[0,\frac{5\pi}{6}]$上是递减的，
$\therefore$当$x = 0$时,$y_{\max} = 1$,
当$x = \frac{5\pi}{6}$时,$y_{\min} = \cos\frac{5\pi}{6} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore y = \cos x( - \frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{6})$的值域为$[ - \frac{\sqrt{3}}{2},1]$.

(2) 已知函数$y = a\sin x + 1$的最大值为$3$，求它的最小值.

答案：
(2)当$a ＞ 0$时,$y_{\max} = a × 1 + 1 = 3$，
得$a = 2$，
$\therefore$当$\sin x = - 1$时,$y_{\min} = 2 × ( - 1) + 1 = - 1$;
当$a ＜ 0$时,$y_{\max} = a × ( - 1) + 1 = 3$，
得$a = - 2$，
$\therefore$当$\sin x = 1$时,$y_{\min} = - 2 × 1 + 1 = - 1$.
它的最小值为$- 1$.