《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例4. 利用正弦曲线，求满足$\frac{1}{2} ＜ \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$的$x$的集合.
【分析】 作出正弦函数的图象，再利用数形结合法求解.
▶[归纳提升]

答案：
首先作出$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$上的图象。如图所示，作直线$y = \frac{1}{2}$，根据特殊角的正弦值，可知该直线与$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$的交点横坐标为$\frac{\pi}{6}$和$\frac{5\pi}{6}$；

作直线$y = \frac{\sqrt{3}}{2}$，该直线与$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$的交点横坐标为$\frac{\pi}{3}$和$\frac{2\pi}{3}$。观察图象可知，在$[0,2\pi]$上，当$\frac{\pi}{6} ＜ x \leq \frac{\pi}{3}$，或$\frac{2\pi}{3} \leq x ＜ \frac{5\pi}{6}$时，不等式$\frac{1}{2} ＜ \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$成立。所以$\frac{1}{2} ＜ \sin x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$的解集为$\{x\mid\frac{\pi}{6} + 2k\pi ＜ x \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi$或$\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \leq x ＜ \frac{5\pi}{6} + 2k\pi,k\in Z\}$。

1. 在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于 (B)

A.$\frac{\pi}{2}$
B.$\pi$
C.$\frac{3\pi}{2}$
D.$2\pi$

答案： 1.B 正弦曲线相邻最低点与最高点之间是半个周期。

2. 已知$a \in \mathbf{R}$，函数$f(x) = \sin x - |a|, x \in \mathbf{R}$为奇函数，则$a$等于 (A)

A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$\pm 1$

答案： 2.A 由$\sin(-x) - |a| = -\sin x + |a|$，得$|a| = 0$，故$a = 0$。

3. 函数$y = \sin x$与函数$y = -\sin x$的图象关于 (A)

A.$x$轴对称
B.$y$轴对称
C.原点对称
D.直线$y = x$对称

答案： 3.A 在同一坐标系中画出函数$y = \sin x$与函数$y = -\sin x$的图象，可知它们关于$x$轴对称。

4. 函数$y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$的图象与直线$y = -\frac{1}{2}$的交点有 (B)

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案：
4.B 如图所示，$y = \sin x,x\in[0,2\pi]$与$y = -\frac{1}{2}$的图象有2个交点。