《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练1
(1)复数$z = -1 - 2i$($i$为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (C)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： 对点训练1:
(1)C
(2)B
(1)$z=-1 - 2i$对应点$Z(-1,-2)$，位于第三象限.
(2)复数$z=(3m - 2)+(m - 1)i$在复平面内的对应点$P(3m - 2,m - 1)$，当$m＞1$时，$P$在第一象限；当$m＜\frac{2}{3}$时，$P$在第三象限，当$\frac{2}{3}＜m＜1$时，$P$在第四象限，当$m=\frac{2}{3}$时，$P$在$y$轴上，当$m = 1$时，$P$在$x$轴上，故选B.

(2)复数$z = (3m - 2) + (m - 1)i(m \in \mathbf{R},i$为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于 (B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 对点训练1:
(1)C
(2)B
(1)$z=-1 - 2i$对应点$Z(-1,-2)$，位于第三象限.
(2)复数$z=(3m - 2)+(m - 1)i$在复平面内的对应点$P(3m - 2,m - 1)$，当$m＞1$时，$P$在第一象限；当$m＜\frac{2}{3}$时，$P$在第三象限，当$\frac{2}{3}＜m＜1$时，$P$在第四象限，当$m=\frac{2}{3}$时，$P$在$y$轴上，当$m = 1$时，$P$在$x$轴上，故选B.

例2. (1)在复平面内，复数$10 + 7i$，$-6 + i$对应的点分别为$A,B$. 若$C$为线段$AB$的中点，则点$C$对应的复数是 (C)
A. $4 + 8i$
B. $16 + 6i$
C. $2 + 4i$
D. $8 + 3i$
(2)在复平面内，$A,B,C$三点对应的复数分别为$1,2 + i,-1 + 2i$.
①求向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$对应的复数；
②判定$\triangle ABC$的形状.
【分析】 根据复数与点、复数与向量的关系求解.
▶[归纳提升]

答案： 例2:
(1)C
(2)见解析
【解析】
(1)两个复数对应的点分别为$A(10,7)$，$B(-6,1)$，则$C(2,4)$.故其对应的复数为$2 + 4i$.
(2)①由复数的几何意义知：
$\overrightarrow{OA}=(1,0)$，$\overrightarrow{OB}=(2,1)$，$\overrightarrow{OC}=(-1,2)$，
所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,1)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-2,2)$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=(-3,1)$，所以$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$对应的复数分别为$1 + i$，$-2 + 2i$，$-3 + i$.
②因为$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{10}$，
所以$|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AC}|^{2}=|\overrightarrow{BC}|^{2}$，
所以$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形.

对点训练2
(1)在复平面内，$O$为原点，向量$\overrightarrow{OA}$对应的复数为$-1 + 2i$，若点$A$关于$x$轴的对称点为$B$，则向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为 (A)
A. $-1 - 2i$
B. $-2 + i$
C. $1 + 2i$
D. $-1 + 2i$

答案： 对点训练2:
(1)A
(2)$-6 - 8i$
(1)$\because A(-1,2)$关于$x$轴的对称点为$B(-1,-2)$，$\therefore$向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$-1 - 2i$.
(2)因为复数$4 + 3i$与$-2 - 5i$分别表示向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$，所以$\overrightarrow{OA}=(4,3)$，$\overrightarrow{OB}=(-2,-5)$，又$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8)$，所以向量$\overrightarrow{AB}$表示的复数是$-6 - 8i$.

(2)已知复数$4 + 3i$与$-2 - 5i$分别表示向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$，则向量$\overrightarrow{AB}$表示的复数是$-6 - 8i$.

答案： 对点训练2:
(1)A
(2)$-6 - 8i$
(1)$\because A(-1,2)$关于$x$轴的对称点为$B(-1,-2)$，$\therefore$向量$\overrightarrow{OB}$对应的复数为$-1 - 2i$.
(2)因为复数$4 + 3i$与$-2 - 5i$分别表示向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$，所以$\overrightarrow{OA}=(4,3)$，$\overrightarrow{OB}=(-2,-5)$，又$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8)$，所以向量$\overrightarrow{AB}$表示的复数是$-6 - 8i$.

例3. (1)已知复数$z_1 = \sqrt{3} + i,z_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，求$|z_1|$及$|z_2|$并比较大小；
(2)已知复数$z$满足$z + |z| = 2 + 8i$，求复数$z$.
【分析】 (1)根据求模公式进行计算；
(2)设$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出$a,b$.
▶[归纳提升]

答案： 例3:
(1)$|z_{1}|=|\sqrt{3}+i|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2$，$|z_{2}|=\sqrt{(-\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=1$，所以$|z_{1}|＞|z_{2}|$.
(2)方法一：设$z=a + bi(a,b\in\mathbf{R})$，则$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，
代入方程得$a + bi+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2 + 8i$，
$\therefore\begin{cases}a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2,\\b = 8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-15,\\b = 8.\end{cases}\therefore z=-15 + 8i$.
方法二：原式可化为$z=2 - |z|+8i$，
$\because|z|\in\mathbf{R}$，$\therefore 2 - |z|$是$z$的实部，于是$|z|=\sqrt{(2 - |z|)^{2}+8^{2}}$，
即$|z|^{2}=68 - 4|z|+|z|^{2}$，$\therefore|z|=17$.
代入$z=2 - |z|+8i$得$z=-15 + 8i$.

对点训练3
若复数$z = \frac{2a - 1}{a + 2} + (a^2 - a - 6)i(a \in \mathbf{R})$是实数，则$z_1 = (a - 1) + (1 - 2a)i$的模为$\sqrt{29}$.

答案： 对点训练3:$\sqrt{29}$ $\because z$为实数，$\therefore a^{2}-a - 6 = 0$，$\therefore a=-2$或$3.\because a=-2$时，$z$无意义，$\therefore a = 3$，$\therefore z=2 - 5i$，$\therefore|z|=\sqrt{29}$.