《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(1)函数$f(x) = \frac{\tan x}{1 + \cos x}$

A.是奇函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.是偶函数

答案：
(1)A 要使$f(x)$有意义，必须满足$\begin{cases}x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in \mathbf{Z})\\1+\cos x\neq0\end{cases}$，即$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$，且$x\neq(2k + 1)\pi(k\in \mathbf{Z})$，函数$f(x)$的定义域关于原点对称。又$f(-x)=\frac{\tan(-x)}{1+\cos(-x)}=-\frac{\tan x}{1+\cos x}=-f(x)$，$\therefore f(x)=\frac{\tan x}{1+\cos x}$是奇函数。

(2)下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是
A.$y = \tan x$
B.$y = \sin|x|$
C.$y = \cos x$
D.既不是奇函数也不是偶函数
B.$y = |\tan x|$
D.$y = \cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$

答案：

(2)B $y = \tan x$是奇函数不满足题意，故A错误；若$y = f(x)=|\tan x|$，首先定义域为$\{x\mid x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbf{Z}\}$关于原点对称，且$f(-x)=|\tan(-x)|=|\tan x|=f(x)$，所以$y = f(x)=|\tan x|$是偶函数，又$f(x+\pi)=|\tan(x+\pi)|=|\tan x|=f(x)$，所以$y = f(x)=|\tan x|$是周期函数，故B正确；画出函数$y = \sin|x|$的图象如图所示：

由此可知函数$y = \sin|x|$不是周期函数，故C错误；若$y = f(x)=\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})$，则$f(\frac{2\pi}{3})=\cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=0\neq f(-\frac{2\pi}{3})=\cos(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$y = f(x)=\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})$不是偶函数，故D错误。故选B。

1. 函数$y = 2\tan(3x + \frac{\pi}{4})$的最小正周期是
A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{3}$
C.$\frac{\pi}{2}$
D.$\frac{2\pi}{3}$
2. 下列各式中正确的是
A.$\tan 735^{\circ} ＞ \tan 800^{\circ}$
B.$\tan 1 ＞ -\tan 2$
C.$\tan \frac{5\pi}{7} ＜ \tan \frac{4\pi}{7}$
D.$\tan \frac{9\pi}{8} ＜ \tan \frac{\pi}{7}$
3. 在区间$[0, \pi]$内，函数$y = \sin x$与$y = \tan x$的图象交点的个数是(C)个.
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
4. 函数$y = \tan(\frac{\pi}{2} - x)(x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$，且$x \neq 0)$的值域为$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$.
5. (1)求$f(x) = \tan(2x + \frac{\pi}{3})$的周期；
(2)判断$y = \sin x + \tan x$的奇偶性.

答案： 1.B 函数$y = 2\tan(3x+\frac{\pi}{4})$的最小正周期是$\frac{\pi}{3}$。
2.D $\tan735^{\circ}=\tan(720^{\circ}+15^{\circ})=\tan15^{\circ}$，$\tan800^{\circ}=\tan(720^{\circ}+80^{\circ})=\tan80^{\circ}$，$\tan15^{\circ}＜\tan80^{\circ}$，所以$\tan735^{\circ}＜\tan800^{\circ}$，故A错误；$-\tan2=\tan(\pi - 2)$，而$0 ＜ 1 ＜ \pi - 2 ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$\tan1 ＜ \tan(\pi - 2)$，即$\tan1 ＜ -\tan2$，故B错误；$\frac{\pi}{2} ＜ \frac{4\pi}{7} ＜ \frac{5\pi}{7} ＜ \pi$，因为函数$y = \tan x$在区间$(\frac{\pi}{2},\pi)$内单调递增，所以$\tan\frac{4\pi}{7} ＜ \tan\frac{5\pi}{7}$，故C错误；$\tan\frac{9\pi}{8}=\tan(\pi+\frac{\pi}{8})=\tan\frac{\pi}{8}$。因为$0 ＜ \frac{\pi}{8} ＜ \frac{\pi}{7} ＜ \frac{\pi}{2}$，$y = \tan x$在$(0,\frac{\pi}{2})$上是增函数，所以$\tan\frac{\pi}{8} ＜ \tan\frac{\pi}{7}$，即$\tan\frac{9\pi}{8} ＜ \tan\frac{\pi}{7}$，故D正确。
3.C 当$x = 0$时$\sin x = \tan x = 0$，故$x = 0$是函数$y = \sin x$与$y = \tan x$的一个交点，当$x\in(0,\frac{\pi}{2})$时，则$\tan x - \sin x = \sin x(\frac{1}{\cos x}-1)$，因为$\sin x ＞ 0$，$0 ＜ \cos x ＜ 1$，所以$\frac{1}{\cos x} ＞ 1$，则$\frac{1}{\cos x}-1 ＞ 0$，即$\tan x - \sin x ＞ 0$，所以$\tan x ＞ \sin x$，此时函数$y = \sin x$与$y = \tan x$无交点，当$x\in(\frac{\pi}{2},\pi)$时，$\tan x ＜ 0$，$\sin x ＞ 0$，所以$\tan x ＜ \sin x$，此时函数$y = \sin x$与$y = \tan x$无交点，当$x = \pi$时$\sin x = \tan x = 0$，故$x = \pi$是函数$y = \sin x$与$y = \tan x$的一个交点，综上可得函数$y = \sin x$与$y = \tan x$的图象在$[0,\pi]$内有且仅有2个交点。故选C。
4.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$
5.
(1)方法一：因为$\tan(2x+\frac{\pi}{3}+\pi)=\tan(2x+\frac{\pi}{3})$，即$\tan[2(x+\frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{3}]=\tan(2x+\frac{\pi}{3})$，所以$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{3})$的周期是$\frac{\pi}{2}$。方法二：由$T=\frac{\pi}{2}$得，周期为$\frac{\pi}{2}$。
(2)定义域为$\{x\mid x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in \mathbf{Z}\}$，关于原点对称，因为$f(-x)=\sin(-x)+\tan(-x)=-\sin x - \tan x=-f(x)$，所以它是奇函数。

知识点1 三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.

答案： 知识点 1.周期现象