《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

4.如图，线段$AB,CD$分别表示甲、乙两楼，$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，从甲楼顶部$A$处测得乙楼顶部$C$处的仰角为$\alpha = 30^{\circ}$，测得乙楼底部$D$处的俯角$\beta = 60^{\circ}$，已知甲楼高$AB = 24$米，则乙楼高$CD =$32米.

答案： 4.32 过$A$作$AE\perp CD$(图略)，垂足为$E$，$ED = AB = 24$米，则$AE=\frac{ED}{\tan 60^{\circ}}=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$(米)。在$Rt\triangle ACE$中，$CE = AE·\tan 30^{\circ}=8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=8$(米)，$\therefore CD = CE + ED = 8 + 24 = 32$(米)。

5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上$A,B$两点处测量与地面垂直的塔$CD$的高，由$A,B$两地测得塔顶$C$的仰角分别为$60^{\circ}$和$45^{\circ}$，又知$AB$的长为$40\ m$，斜坡与水平面成$30^{\circ}$角，求该转播塔的高度.

答案：
5.如图所示，由题意，得$\angle ABC = 45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$，$\angle DAC = 60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$，$\therefore\angle BAC = 150^{\circ}$，$\angle ACB = 15^{\circ}$，$\therefore AC = AB = 40$m，$\angle ADC = 120^{\circ}$，$\angle ACD = 30^{\circ}$。

在$\triangle ACD$中，由正弦定理，得$CD=\frac{\sin\angle CAD}{\sin\angle ADC}× AC=\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}×40=\frac{40\sqrt{3}}{3}$(m)。故转播塔的高度为$\frac{40\sqrt{3}}{3}$m。

知识点1 向量在平面几何中的应用
设$a = (x_1,y_1)$，$b = (x_2,y_2)$.
(1)证明线线平行问题：常用向量平行的等价条件：$a // b(b \neq 0) \Leftrightarrow a = \lambda b \Leftrightarrow$$x_1y_2=x_2y_1$.
(2)证明垂直问题：常用向量垂直的等价条件：$a \perp b \Leftrightarrow a · b = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$.
(3)求夹角问题：$\cos \theta =$$\frac{a· b}{|a||b|}$$= \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.
(4)求线段长度问题：$|a| = \sqrt{a^2} =$$\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.

答案： 知识点1
(1)$x_1y_2=x_2y_1$
(3)$\frac{a· b}{|a||b|}$
(4)$\sqrt{x_1^2+y_1^2}$

知识点2 向量在物理学中的应用
(1)物理学中的许多量，如力，位移，速度，加速度都是向量.
(2)物理学中的力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法.

答案： （无需选择，此为知识点陈述）