《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例3. 已知函数$y = 3\sin\left( \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4} \right)$.
(1)求此函数的周期、振幅、初相；
(2)求此函数的对称轴、对称中心、递增区间.
[归纳提升]

答案：
(1)周期T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = 2π = 4π,振幅A = 3,初相是-$\frac{\pi}{4}$.
(2)由于y = 3sin($\frac{1}{2}$x - $\frac{\pi}{4}$)是周期函数,通过观察图象可知,所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令$\frac{1}{2}$x - $\frac{\pi}{4}$ = $\frac{\pi}{2}$ + kπ(k∈Z),解得对称轴方程为x = $\frac{3\pi}{2}$ + 2kπ,k∈Z.
因为所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心,令$\frac{1}{2}$x - $\frac{\pi}{4}$ = kπ(k∈Z),得x = $\frac{\pi}{2}$ + 2kπ,k∈Z,所以对称中心为点($\frac{\pi}{2}$ + 2kπ,0),k∈Z;
又因为x的系数为正数,所以把$\frac{1}{2}$x - $\frac{\pi}{4}$视为一个整体,令-$\frac{\pi}{2}$ + 2kπ ≤ $\frac{1}{2}$x - $\frac{\pi}{4}$ ≤ $\frac{\pi}{2}$ + 2kπ,解得[-$\frac{\pi}{2}$ + 4kπ,$\frac{3\pi}{2}$ + 4kπ],k∈Z为此函数的递增区间.

3. (1)函数$y = -2\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) + 1$的最大值为3，取得最大值时$x =$- $\frac{\pi}{8}$ + kπ,k∈Z.
(2)求函数$y = 2\sin\left( -3x + \frac{\pi}{4} \right)$的单调递减区间.

答案： 3.
(1)3 - $\frac{\pi}{8}$ + kπ,k∈Z
(2)见解析
【解析】
(1)y_max = -2 × (-1) + 1 = 3,令2x - $\frac{\pi}{4}$ = -$\frac{\pi}{2}$ + 2kπ,k∈Z,解得x = -$\frac{\pi}{8}$ + kπ,k∈Z.
(2)
∵y = -2sin(3x - $\frac{\pi}{4}$),而y = -2sin(3x - $\frac{\pi}{4}$)的单调递减区间即为y = 2sin(3x - $\frac{\pi}{4}$)的单调递增区间.
由2kπ - $\frac{\pi}{2}$ ≤ 3x - $\frac{\pi}{4}$ ≤ 2kπ + $\frac{\pi}{2}$(k∈Z)
解得$\frac{2}{3}$kπ - $\frac{\pi}{12}$ ≤ x ≤ $\frac{2}{3}$kπ + $\frac{\pi}{4}$(k∈Z).
∴y = 2sin(-3x + $\frac{\pi}{4}$)的单调递减区间为[$\frac{2}{3}$kπ - $\frac{\pi}{12}$,$\frac{2}{3}$kπ + $\frac{\pi}{4}$](k∈Z).

1. 函数$y = \frac{1}{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{3} \right)$的图象的一条对称轴是 (C)

A.$x = - \frac{\pi}{2}$
B.$x = \frac{\pi}{2}$
C.$x = - \frac{\pi}{6}$
D.$x = \frac{\pi}{6}$

答案： 1.C由x - $\frac{\pi}{3}$ = kπ + $\frac{\pi}{2}$,k∈Z,解得x = kπ + $\frac{5\pi}{6}$,k∈Z,令k = -1,得x = -$\frac{\pi}{6}$.

2. 要得到函数$y = 3\sin\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)$的图象，只需将函数$y = 3\sin2x$的图象 (C)

A.向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位
B.向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位
C.向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位
D.向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位

答案： 2.C由y = 3sin2(x + φ) = 3sin(2x + $\frac{\pi}{4}$),得2φ = $\frac{\pi}{4}$,φ = $\frac{\pi}{8}$.故向左平移$\frac{\pi}{8}$个单位.

3. 已知函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0)$的振幅为$\frac{1}{2}$，周期为$\frac{2\pi}{3}$，初相为$\frac{\pi}{6}$，则该函数的表达式为 (C)

A.$y = \frac{1}{2}\sin\left( \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)$
B.$y = \frac{1}{2}\sin\left( \frac{x}{3} - \frac{\pi}{6} \right)$
C.$y = \frac{1}{2}\sin\left( 3x + \frac{\pi}{6} \right)$
D.$y = \frac{1}{2}\sin\left( 3x - \frac{\pi}{6} \right)$

答案： 3.C易知A = $\frac{1}{2}$,φ = $\frac{\pi}{6}$,ω = $\frac{2\pi}{2\pi}$ = 3.

4. 已知函数$f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi)\left( x \in \mathbf{R},\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2} \right)$的最小正周期为$\pi$且$f(0) = \sqrt{3}$，则$\cos(\omega\varphi) =$-$\frac{1}{2}$.

答案： 4.-$\frac{1}{2}$T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = π,
∴ω = 2.
又f
(0) = 2sinφ = $\sqrt{3}$,sinφ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
又|φ| ＜ $\frac{\pi}{2}$,
∴φ = $\frac{\pi}{3}$.
∴cos(ωφ) = cos$\frac{2\pi}{3}$ = -$\frac{1}{2}$.

5. 已知函数$f(x) = 2\sin\left( 2x - \frac{\pi}{6} \right),x \in \mathbf{R}$.
(1)写出函数$f(x)$的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数$f(x)$在区间$\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]$上的最大值和最小值.

答案： 5.
(1)由2x - $\frac{\pi}{6}$ = kπ + $\frac{\pi}{2}$,k∈Z,
解得f(x)的对称轴方程是x = $\frac{\pi}{3}$ + $\frac{k}{2}$π,k∈Z;由2x - $\frac{\pi}{6}$ = kπ,k∈Z,解得对称中心是($\frac{\pi}{12}$ + $\frac{k}{2}$π,0),k∈Z;由2kπ - $\frac{\pi}{2}$ ≤ 2x - $\frac{\pi}{6}$ ≤ 2kπ + $\frac{\pi}{2}$,k∈Z,解得单调递增区间是[-$\frac{\pi}{6}$ + kπ,$\frac{\pi}{3}$ + kπ],k∈Z;
由2kπ + $\frac{\pi}{2}$ ≤ 2x - $\frac{\pi}{6}$ ≤ 2kπ + $\frac{3\pi}{2}$,k∈Z,解得单调递减区间是[$\frac{\pi}{3}$ + kπ,$\frac{5\pi}{6}$ + kπ],k∈Z.
(2)因为0 ≤ x ≤ $\frac{\pi}{2}$,所以-$\frac{\pi}{6}$ ≤ 2x - $\frac{\pi}{6}$ ≤ $\frac{5\pi}{6}$.
所以当2x - $\frac{\pi}{6}$ = -$\frac{\pi}{6}$,即x = 0时,f(x)取最小值为-1;
当2x - $\frac{\pi}{6}$ = $\frac{\pi}{2}$,即x = $\frac{\pi}{3}$时,f(x)取最大值为2.