《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 证明: (1) $\frac{\sin A + 2 \sin 3A + \sin 5A}{\sin 3A + 2 \sin 5A + \sin 7A} = \frac{\sin 3A}{\sin 5A}$;
(2) $\frac{\cos A + \cos(120° + B) + \cos(120° - B)}{\sin B + \sin(120° + A) - \sin(120° - A)} = \tan \frac{A + B}{2}$.
[归纳提升]

答案： 例3:【证明】
(1)左边$=\frac{(\sinA+\sin5A)+2\sin3A}{(\sin3A+\sin7A)+2\sin5A}$
$=\frac{2\sin3A\cos2A+2\sin3A}{2\sin5A\cos2A+2\sin5A}=\frac{2\sin3A(\cos2A+1)}{2\sin5A(\cos2A+1)}=\frac{\sin3A}{\sin5A}$
右边.
(2)左边$=\frac{\cosA+2\cos120°\cosB}{\sinB+2\cos120°\sinA}$
$=\frac{\cosA-\cosB}{\sinB-\sinA}=\frac{2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{B-A}{2}}{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{B-A}{2}}$
$=\tan\frac{A+B}{2}=$右边.

对点训练 3
在 $\triangle ABC$ 中, 求证: $\sin A + \sin B + 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.

答案： 对点训练3:由A+B+C=180°,得C=180°-(A+B),
即$\frac{C}{2}=90°-\frac{A+B}{2},\therefore\cos\frac{C}{2}=\sin\frac{A+B}{2}$
$\therefore\sinA+\sinB+2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A+B}{2}$
$=2\sin\frac{A+B}{2}·\cos\frac{A-B}{2}+2\sin\frac{A+B}{2}·\cos\frac{A+B}{2}$
$=2\sin\frac{A+B}{2}(\cos\frac{A-B}{2}+\cos\frac{A+B}{2})$
$=2\cos\frac{C}{2}·2\cos\frac{A}{2}·\cos(-\frac{B}{2})$
$=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2},$
$\therefore$原等式成立.

例 4. 已知函数 $f(x) = \frac{\sin \frac{5}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} - \frac{1}{2}$ 与 $g(x) = \cos^2 x + a(1 + \cos x) - \cos x - 3$ 的图象在 $(0, \pi)$ 内至少有一个公共点, 求 $a$ 的取值范围.
[归纳提升]

答案： 例4:因为函数$f(x)=\frac{\sin\frac{5}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}$与$g(x)=\cos^2x+a(1+$
$\cosx)-\cosx-3$的图象在$(0,\pi)$内至少有一个公共点,
所以$\frac{\sin\frac{5}{2}x}{2\sin\frac{x}{2}}-\frac{1}{2}=\cos^2x+a(1+\cosx)-\cosx-3$在$(0,\pi)$
内至少有一个解,
即$\sin\frac{5}{2}x-\sin\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}[\cos^2x+a(1+\cosx)-\cosx-3],$
所以$2\cos\frac{3}{2}x\sinx$
$=2\sin\frac{x}{2}[\cos^2x+a(1+\cosx)-\cosx-3],$
$2\cos\frac{3}{2}x\cos\frac{x}{2}=\cos^2x+a(1+\cosx)-\cosx-3,$
$\cos2x+\cosx=\cos^2x+a(1+\cosx)-\cosx-3,$
所以$a=(1+\cosx)+\frac{1}{1+\cosx},$令$1+\cosx=t,t\in(0,2),$
所以$a\geq2,$当且仅当$x=\frac{\pi}{2}$时等号成立,所以a的取值范围
是$[2,+\infty).$