《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 已知$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的周期为 2 的函数，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=4^x - 1$，则$f(4.5)$的值为 (D)

A.2
B.-1
C.$-\frac {1}{2}$
D.1
▶[归纳提升]

答案： 例3：D 已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x ∈ [0,1]时，f(x) = 4^x - 1，则f(4.5) = f(0.5) = 2 - 1 = 1.

对点训练3
(多选)已知定义在$\mathbf{R}$上的函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)=f(x + 2)$，且当$x\in[0,1]$时，$f(x)=x$，则下列说法正确的是 (AB)

A.$f(x)$是偶函数
B.$f(x)$是周期函数
C.$f(\frac {99}{2}) = -1$
D.$x\in[-1,0]$时，$f(x)=x$

答案： 对点训练3：AB 因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x) = f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；又f(x) = f(x + 2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故B正确；设x ∈ [-1,0)，则 -x ∈ (0,1]，所以f(-x) = -x，又f(x)是偶函数，则f(x) = -x，即当x ∈ [-1,0)时f(x) = -x，故D错误$;f(\frac{99}{2}) = f(50 - \frac{1}{2}) = f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}，$故C错误.故选AB.

1. 下列现象是周期现象的有 (D)
①太阳的东升西落
②潮汐现象
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： 1 D 上面这4种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象.

2. 把$\frac 1 7$化成小数，小数点后第 20 位是 (C)

A.1
B.2
C.4
D.8

答案： $2 C \frac{1}{7} = 0.142857，$即$\frac{1}{7}$是可以化为一个无限循环小数，因为20 ÷ 6 = 3……2，3表示142857重复3次，2表示142857这组数的第2个数，所以第20位是4.

3. 把一批小球按 2 个红色，5 个白色的顺序排列，第 30 个小球是红色.

答案： 3 红 周期为7，30 = 4 × 7 + 2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色.

4. 设函数$f(x)$是以 2 为最小正周期的周期函数，且$x\in[0,2]$时，$f(x)=(x - 1)^2$，则$f(2024) =$1.

答案： 4 1 因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数，所以f
(2024) = f(1012 × 2) = f
(0)，又因为x ∈ [0,2]时，$f(x) = (x - 1)^2，$所以$f(2024) = f(0) = (0 - 1)^2 = 1.$

5. 已知周期函数$y = f(x)$的图象如图所示，

(1)求函数的周期;
(2)画出函数$y = f(x + 1)$的图象.

答案：
5
(1)T = 2.
(2)把y = f(x)向左平移一个单位长度得y = f(x + 1)的图象，即如图所示.