《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练 4
$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a\sin A + c\sin C - \sqrt{2}a\sin C = b\sin B$.
(1)求角$B$的大小；
(2)若$A = 75^{\circ}$，$b = 2$，求$a$，$c$. $\left(\sin75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right)$

答案： 对点训练 4:
(1)由正弦定理得$a^{2}+c^{2}-\sqrt {2}ac = b^{2}$. 由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cos B$. 故$\cos B=\frac {\sqrt {2}}{2}$,因此$B = 45^{\circ}$.
(2)因为$\sin A=\sin75^{\circ}=\frac {\sqrt {2}+\sqrt {6}}{4}$ 故由正弦定理得$a = b·\frac {\sin A}{\sin B}$=$1+\sqrt {3}$. 由已知得,$C=180^{\circ}-45^{\circ}-75^{\circ}=60^{\circ}$, $c = b·\frac {\sin C}{\sin B}$=$2×\frac {\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$=$\sqrt {6}$.

1. 在$\triangle ABC$中，$a = \sqrt{3}$，$b = 1$，$B = \frac{\pi}{6}$，则角$A =$ (D)

A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{\pi}{6}$或$\frac{5\pi}{6}$
C.$\frac{\pi}{6}$
D.$\frac{\pi}{3}$或$\frac{2\pi}{3}$

答案： 1 D 由正弦定理,$\frac {a}{\sin A}$=$\frac {b}{\sin B}$则$\sin A=\frac {a\sin B}{b}$=$\sqrt {3}\sin\frac {\pi}{6}$= $\frac {\sqrt {3}}{2}$,因$0＜A＜\pi$,则$A=\frac {\pi}{3}$或$\frac {2\pi}{3}$,因$a＞b$,故$A＞B$,即两解均 合题意.故选$D$.

2. 已知在$\triangle ABC$中，角$A$、$B$所对的边分别是$a$和$b$，若$a\cos B = b\cos A$，则$\triangle ABC$一定是 (A)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 2 A $\because a\cos B = b\cos A$,$\therefore$由正弦定理,得$\sin A\cos B=\sin B\cos A$, $\therefore\sin(A - B)=0$,由于$-\pi＜A - B＜\pi$,故必有$A - B=0$,$\therefore A = B$.即$\triangle ABC$为等腰三角形.

3. 在$\triangle ABC$中，$AB = \sqrt{6}$，$\angle A = 75^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，则$AC =$2.

答案： 3 2 在$\triangle ABC$中$,\angle A=75^{\circ},\angle B=45^{\circ}, $所以$\angle C=60^{\circ}, $由正弦定理知$\frac {AC}{\sin B}=\frac {AB}{\sin C} $所以$AC=\frac {AB\sin B}{\sin C}=\frac {\sqrt {6}×\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=2.$

4. 在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = 1$，$b = \sqrt{3}$，$A + C = 2B$，则$\sin A =$$\frac{1}{2}$.

答案： 4 $\frac {1}{2}$ 因为$A + B + C=180^{\circ}$,且$A + C=2B$,所以$B=60^{\circ}$,由正 弦定理得$\sin A=\frac {a\sin B}{b}$=$\frac {1×\sin60^{\circ}}{\sqrt {3}}$=$\frac {1}{2}$

5. 在$\triangle ABC$中，$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sqrt{3}\cos C}{c}$.
(1)求$C$的大小；
(2)如果$a + b = 6$，$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB} = 4$，求$c$的值.

答案： 5
(1)$\because\frac {a}{\sin A}$=$\frac {c}{\sin C}$$\therefore\frac {\sin A}{a}$=$\frac {\sin C}{c}$$\therefore\sqrt {3}\cos C$ $\therefore\sin C=\sqrt {3}\cos C$$\therefore\tan C=\sqrt {3}$. 又$\because C\in(0,\pi)$,$\therefore C=\frac {\pi}{3}$.
(2)$\because\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}=|\overrightarrow{CA}|·|\overrightarrow{CB}|\cos C=\frac {1}{2}ab = 4$,$\therefore ab = 8$. 又$\because a + b=6$,由余弦定理知$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=(a + b)^{2}$ $-3ab=12$,$\therefore c=2\sqrt {3}$.