《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

▶对点训练2
(1)向量$\overrightarrow{MN}$可以写成:①$\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}$;②$\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{ON}$;③$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}$;④$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}$.
其中正确的是①④(填序号).
(2)化简:①$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{BC}$;
②$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA})-(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{OB})$.

答案：
(1)①④
(2)见解析
【解析】
(1)①$\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{MN}$;②$\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=$
$-(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON})\neq\overrightarrow{MN}$;③$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM}$;④$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{MN}$,故填①④.
(2)①$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{CA}+$
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$.
②$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA})-(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$
$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=0$.

例3.如图,在正六边形$ABCDEF$中,$O$为中心,若$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{OE} = \boldsymbol{b}$,用向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示向量$\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OD}$.


【分析】 观察图形$\longrightarrow$找已知向量与所求向量的关系$\longrightarrow$利用法则写出结果
▏归纳提升▕

答案： 方法一:在$□ OAF E$中,$OF$为对角线,且$OA$,$OF$,$OE$起点相同,应用平行四边形法则,得$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OE}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.
$\because \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OF},\therefore \overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
而$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OE}=-\boldsymbol{b},\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}=-\boldsymbol{a}$,
$\therefore \overrightarrow{OB}=-\boldsymbol{b},\overrightarrow{OC}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{a}$.
方法二:由正六边形的几何性质,得
$\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{a},\overrightarrow{OB}=-\boldsymbol{b},\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{OA}=-\boldsymbol{a}$.
在$\triangle OBC$中,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
方法三:由正六边形的几何性质,得
$\overrightarrow{OB}=-\boldsymbol{b},\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{a}$.
在$□ OBCD$中,$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.

▶对点训练3
如图,向量$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b},\overrightarrow{CD} = \boldsymbol{c}$,则向量$\overrightarrow{BD}$可以表示为 (C)

A.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$
B.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
C.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$
D.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$

答案： C 根据向量运算法则可得$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}$
$-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$,
又$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{c}$,所以$\overrightarrow{BD}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$,故选C.

1.下列等式:①$0-\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}$;②$-(- \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{a}$;
③$\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a}) = 0$;④$\boldsymbol{a}+0 = \boldsymbol{a}$;⑤$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$;
⑥$\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a}) = 0$.
正确的个数是 (C)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 1 C 只有⑥不正确.

2.在$\triangle ABC$中,$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}$,则$\overrightarrow{AB}$等于 (B)

A.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
B.$-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
C.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$

答案： 2 B $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$,故选B.

3.化简$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}$得 (D)

A.$\overrightarrow{AB}$
B.$\overrightarrow{DA}$
C.$\overrightarrow{BC}$
D.$0$

答案： 3 D 原式$=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=0$.

4.若菱形$ABCD$的边长为$2$,则$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}| =$2.

答案： 4 2 $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{AD}|=2$.

5.化简下列式子:(1)$\overrightarrow{NQ}-\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{MP}$;
(2)$(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})-(\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{EC})$.

答案： 5
(1)原式$=\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}+(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN})=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PN}$
$=0$.
(2)$(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})-(\overrightarrow{ED}-\overrightarrow{EC})=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})-(\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{ED})=\overrightarrow{CA}$
$-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}$.