《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练2
如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心$O$距离水面2m，已知水轮自点$B$开始1min旋转4圈，水轮上的点$P$到水面距离$y$(m)与时间$x$(s)满足函数关系式$y = A\sin(\omega x + \varphi) + 2$，则有 (A)

A.$\omega = \frac{2\pi}{15}, A = 3$
B.$\omega = \frac{15}{2\pi}, A = 3$

C.$\omega = \frac{2\pi}{15}, A = 5$
D.$\omega = \frac{15}{2\pi}, A = 5$

答案： 对点训练2:$A$ 由1 min旋转4圈，则转1圈的时间为$T = \frac{1}{4}\ min = \frac{1}{4} × 60 = 15( s )$，则$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{15}$。又由图可知，$A = 3$。

例3. 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深$y$(米)是随着一天的时间$t(0 \leq t \leq 24$，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻$t$的水深数据的近似值如表：

(1) 根据表中近似数据画出散点图(坐标系在答题卷中). 观察散点图，从①$y = A\sin(\omega t + \varphi)$，②$y = A\cos(\omega t + \varphi) + b$，③$y = -A\sin \omega t + b(A ＞ 0, \omega ＞ 0, -\pi ＜ \varphi ＜ 0)$中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
(2) 为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.
【分析】 (1) 根据表中近似数据画出散点图，选②$y = A\cos(\omega t + \varphi) + b$作为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质，求出该拟合模型的函数解析式即可.
(2) 由$y = 0.9\sin(\frac{\pi}{6}t) + 1.5$，令$y \geq 1.05$，得$\sin(\frac{\pi}{6}t) \geq -\frac{1}{2}$，从而解出$12k - 1 \leq t \leq 12k + 7$，即可求出结果.

答案：
例3:
(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示:

结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选$y = A\cos( \omega t + \varphi ) + b$作为函数模型。
$\therefore A = \frac{2.4 - 0.6}{2} = 0.9$，$b = \frac{2.4 + 0.6}{2} = 1.5$。
$\because T = \frac{2\pi}{\omega} = 12$，$\therefore \omega = \frac{\pi}{6}$，$\therefore y = 0.9\cos( \frac{\pi}{6}t + \varphi ) + 1.5$。
又$\because$函数$y = 0.9\cos( \frac{\pi}{6}t + \varphi ) + 1.5$的图象过点$( 3,2.4 )$，$\therefore 2.4 = 0.9\cos( \frac{\pi}{6} × 3 + \varphi ) + 1.5$，$\therefore \cos( \frac{\pi}{2} + \varphi ) = 1$，$\therefore \sin\varphi = - 1$。
又$\because - \pi ＜ \varphi ＜ 0$，$\therefore \varphi = - \frac{\pi}{2}$，$\therefore y = 0.9\cos( \frac{\pi}{6}t - \frac{\pi}{2} ) + 1.5 = 0.9\sin( \frac{\pi}{6}t ) + 1.5$。
(2)由
(1)知$y = 0.9\sin( \frac{\pi}{6}t ) + 1.5$。
令$y \geq 1.05$，即$0.9\sin( \frac{\pi}{6}t ) + 1.5 \geq 1.05$，$\therefore \sin( \frac{\pi}{6}t ) \geq - \frac{1}{2}$。
$\therefore 2k\pi - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6}t \leq 2k\pi + \frac{7\pi}{6}( k \in \mathbf{Z} )$，$\therefore 12k - 1 \leq t \leq 12k + 7$。
又$\because 5 \leq t \leq 18$，$\therefore 5 \leq t \leq 7$或$11 \leq t \leq 18$，$\therefore$这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全。

对点训练3
某港口的水深$y$(米)是时间$t(0 \leq t \leq 24$，单位：小时)的函数，下面是每天时间与水深的关系表：

经过长期观测，$y = f(t)$可近似的看成是函数$y = A\sin \omega t + b$
(1) 根据以上数据，求出$y = f(t)$的解析式；
(2) 若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港?

答案： 对点训练3:
(1)由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，$\therefore b = \frac{13 + 7}{2} = 10$，$A = \frac{13 - 7}{2} = 3$。
且相隔12小时达到一次最大值说明周期为12，因此$T = \frac{2\pi}{\omega} = 12$，$\omega = \frac{\pi}{6}$，故$f(t) = 3\sin\frac{\pi}{6}t + 10( 0 \leq t \leq 24 )$。
(2)要想船舶安全，必须有深度$f(t) \geq 11.5$，即$3\sin\frac{\pi}{6}t + 10 \geq 11.5$。
$\therefore \sin\frac{\pi}{6}t \geq \frac{1}{2}$，$2k\pi + \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6}t \leq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$，解得$12k + 1 \leq t \leq 5 + 12k$，$k \in \mathbf{Z}$，又$0 \leq t \leq 24$。
当$k = 0$时，$1 \leq t \leq 5$；当$k = 1$时，$13 \leq t \leq 17$。
故船舶安全进出港的时间段为$( 1:00 - 5:00 )$，$( 13:00 - 17:00 )$。

1. 已知简谐运动$f(x) = 2\sin(\frac{\pi}{3}x + \varphi)(|\varphi| ＜ \frac{\pi}{2})$的图象经过点$(0,1)$，则该简谐运动的最小正周期$T$和初相$\varphi$分别为 (A)

A.$T = 6, \varphi = \frac{\pi}{6}$
B.$T = 6, \varphi = \frac{\pi}{3}$
C.$T = 6\pi, \varphi = \frac{\pi}{6}$
D.$T = 6\pi, \varphi = \frac{\pi}{3}$

答案： 1.$A$，$T = \frac{2\pi}{\omega} = 6$。由图象过$( 0,1 )$点得$\sin\varphi = \frac{1}{2}$，$ - \frac{\pi}{2} ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}$，$\therefore \varphi = \frac{\pi}{6}$。