《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 相反向量(复习回顾)

定义
把与$\boldsymbol{a}$长度相等、方向相反的向量,叫作$\boldsymbol{a}$的相反向量,记作$- \boldsymbol{a}$
规定:零向量的相反向量仍是零向量
性质
(1)零向量的相反向量仍是零向量,于是$-(-0) = 0$;
(2)互为相反向量的两个向量的和为$0$,即$\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a}) = (-\boldsymbol{a})+\boldsymbol{a} = 0$;
(3)若$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = 0$,则$\boldsymbol{a} = -$$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{b} =$$- \boldsymbol{a}$.

答案： 定义填空：$-\boldsymbol{a}$
性质
(1)填空：0
性质
(3)填空：$\boldsymbol{a=-}, \boldsymbol{ -a}$

知识点2 向量的减法
定义
向量$\boldsymbol{a}$减向量$\boldsymbol{b}$等于$\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$,即$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$$= \boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$
几何意义
如图,设$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$,则$\overrightarrow{BA} = \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} = \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$.即$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$表示为从向量$\boldsymbol{b}$指向向量$\boldsymbol{a}$的向量

答案： 向量$\boldsymbol{a}$加上向量$\boldsymbol{b}$的相反向量；$\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$；$\boldsymbol{b}$的终点；$\boldsymbol{a}$的终点

例1.(1)如图,四边形$ABCD$中,若$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b},\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{c}$,则$\overrightarrow{DC} =$ (A)
A.$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
B.$\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})$
C.$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
D.$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$
(2)如图,已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$不共线,求作向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$.
【分析】 求作两个向量的差向量时,当两个向量有共同起点,直接连接两个向量的终点,并指向被减向量,就得到两个向量的差向量;若两个向量的起点不重合,先通过平移使它们的始点重合,再作出差向量.
▏归纳提升▕

答案：

(1)A
(2)见解析
【解析】
(1)$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})-\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}$.
(2)方法一:如图①所示,在平面内任取一点$O$,作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$,则$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,再作$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$,则$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$.
　　　
方法二:如图②所示,在平面内任取一点$O$,作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$,则$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,再作$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{c}$,连接$OC$,则$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$.