《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 $\sin \alpha, \cos \alpha$与$\sin\left(\alpha \pm \frac{\pi}{2}\right), \cos\left(\alpha \pm \frac{\pi}{2}\right)$的关系
(1) 如图1，对任意角$\alpha$，有$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = $$\cos \alpha$$$，$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = $$-\sin \alpha$$$.
(2) 如图2，对任意角$\alpha$，有$\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = $$-\cos \alpha$$$，$\cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = $$\sin \alpha$$$.

答案： 知识点1
(1)$\cos \alpha$ $-\sin \alpha$
(2)$-\cos \alpha$ $\sin \alpha$

知识点2 正弦函数、余弦函数的诱导公式
对任意角$\alpha$，下列关系式成立(其中$k \in \mathbf{Z}$).
$\sin(\alpha + 2k\pi) = $$$，$\cos(\alpha + 2k\pi) = $_________$$，$\sin(-\alpha) = $_________$$，$\cos(-\alpha) = $_________$$，$\sin(\alpha + \pi) = $_________$$，$\cos(\alpha + \pi) = \cos(\pi + \alpha) = $_________$$，$\sin(\alpha - \pi) = $_________$$，$\cos(\alpha - \pi) = $_________$$，$\sin(\pi - \alpha) = $_________$$，$\cos(\pi - \alpha) = $_________$$，$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = $_________$$，$\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = $_________$$，$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = $_________$$，$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = $_________$$.

答案： 知识点2 $\sin \alpha$ $\cos \alpha$ $-\sin \alpha$ $\cos \alpha$ $-\sin \alpha$ $-\cos \alpha$ $\sin \alpha$ $-\cos \alpha$ $\sin \alpha$ $-\cos \alpha$ $\cos \alpha$ $-\sin \alpha$ $\cos \alpha$ $\sin \alpha$

知识点3 诱导公式的记忆方法
诱导公式可以统一概括为“$k · \frac{\pi}{2} \pm \alpha(k \in \mathbf{Z})$”的诱导公式. 当$k$为偶数时，函数名不改变；当$k$为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把$\alpha$视为锐角时原函数值的符号. 记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.

答案： 无（本题为知识点阐述，非解答题，无具体答案选项）

例1. 计算：
(1)$\sin^2 120° + \cos 180° - \cos^2(-330°) + \sin(-210°)$；
(2)$\frac{\sqrt{1 + \cos 100° \sin 170°}}}{\cos 370° + \sqrt{1 - \sin^2 170°}}$
【分析】 利用诱导公式，先化简再求值.

答案： 例1:
(1)原式$=\sin^260° - \cos 0° - \cos^230° + \sin30° = \frac{3}{4}-1$
$\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$
(2)原式$=\frac{\sqrt{1+\cos(180° - 80°)\sin(90° + 80°)}}{\cos(360° + 10°) + \sqrt{1 - \sin^2(180° - 10°)}}$
$=\frac{\sqrt{1+(-\cos 80°)\cos 80°}}{\cos 10° + \sqrt{1 - \sin^210°}} = \frac{\sqrt{1-\cos^280°}}{2\cos 10°}$
$=\frac{\sin 80°}{2\cos 10°}=\frac{\cos 10°}{2\cos 10°}=\frac{1}{2}$