《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

►对点训练1
下列结论：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是 (B)

A.①
B.②
C.①②
D.②③

答案： 对点训练1:B 过两母线的截面为矩形,有时斜的截面为椭圆,故①错;根据母线的定义和特点,③错误;②正确,故选B.

例2.一圆柱的底面半径为$\frac{3}{\pi}$，母线长为$4$，轴截面为$ABCD$，从点$A$拉一绳子沿圆柱侧面到相对顶点$C$，求最短绳长.
【分析】 绳子沿圆柱侧面由$A$到$C$且最短，故侧面展开后为$A$、$C$两点间的线段长.
►[归纳提升]

答案：
例2:沿AD剪开,将圆柱体的侧面的一半展开得到矩形BADC.则$AD = 4,AB = \frac{3}{\pi}·\pi = 3.$
∴$AC = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5,$即最短绳长为5.
　　　　　

►对点训练2
如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为$6\ m$的正三角形$ABC$，粮堆母线$AC$的中点$P$处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在$B$处，它要沿圆锥侧面到达$P$处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)

答案： 对点训练2:设底面圆的周长为l.
∵△ABC为正三角形,
∴BC = 6,
∴$l = 2\pi×3 = 6\pi,$
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得:
$\frac{n\pi×6}{180^{\circ}} = 6\pi,$
故n = 180°,则∠B'AC = 90°,
∴$B'P = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}(m),$
∴小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}m.$