《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 已知$\cos 2\alpha = \frac{2}{3}$, 则$\sin^{2}\alpha =$ (A)

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 1 A 因为$\cos 2\alpha = \frac{2}{3}$,所以$\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} = \frac{1}{6}$. 故选A.

2. 已知$\alpha$为第三象限角, 且$\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, 则$\tan 2\alpha$的值为 (A)

A.$-\frac{4}{3}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$-\frac{3}{4}$
D.$-2$

答案： 2 A 由题意可得$\tan \alpha = 2$,所以$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = -\frac{4}{3}$.

3. 化简$\frac{\tan 14^{\circ}}{1 - \tan^{2}14^{\circ}} · \cos 28^{\circ}$的结果为 (A)

A.$\frac{\sin 28^{\circ}}{2}$
B.$\sin 28^{\circ}$
C.$2\sin 28^{\circ}$
D.$\sin 14^{\circ}\cos 28^{\circ}$

答案： 3 A $\frac{\tan 14°}{1 - \tan^2 14°} · \cos 28° = \frac{1}{2} × \frac{2\tan 14°}{1 - \tan^2 14°} · \cos 28° =$
$\frac{1}{2}\tan 28° · \cos 28° = \frac{\sin 28°}{2}$,故选A.

4. 化简$\sqrt{1 + \sin 100^{\circ}} - \sqrt{1 - \sin 100^{\circ}}$的结果为 (D)

A.$-2\sin 40^{\circ}$
B.$2\cos 40^{\circ}$
C.$-2\cos 40^{\circ}$
D.$2\sin 40^{\circ}$

答案： 4 D 原式$= \sqrt{1 + 2\sin 40°\cos 40°} - \sqrt{1 - 2\sin 40°\cos 40°} =$
$= (\sin 40° + \cos 40°) - (\cos 40° - \sin 40°) =$
$= 2\sin 40°$.

5. 已知$\sin 2\alpha = \frac{1}{4}, \alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, 则$\cos \alpha - \sin \alpha$的值是 (A)

A.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： 5 A $\because \alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$,$\therefore \sin \alpha ＞ \cos \alpha$.
又$\because (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 1 - \sin 2\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,
$\therefore \cos \alpha - \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

知识点 半角公式及其变形公式

答案： 由于您提供的题目信息不完整（仅提及知识点和插图1，未给出具体题目内容），无法进行解答。请您补充完整题目信息，以便我为您提供准确的解析和答案。