《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点 1 复数的概念与分类
1. 复数的概念：$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$(如右图所示)
2. 复数的分类
复数$a + bi(a,b \in \mathbf{R})\begin{cases} $_________$ ; \\虚数(b \neq 0).(当a = 0时为纯虚数)\end{cases}$

答案： 知识点1 2.实数($b=0$)

知识点 2 复数相等与数集之间的关系
1. 两个复数相等
两个复数$a + bi$与$c + di(a,b,c,d \in \mathbf{R})$相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即：$a + bi = c + di$，当且仅当$a=c$且$b=d$.
2. 数集之间的关系(如右图所示)

答案： 知识点2 1.$a=c$且$b=d$

例1. (1)给出下列三个命题：①若$z \in \mathbf{C}$,则$z^{2} \geq 0$；②$2i - 1$虚部是$2i$；③$2i$的实部是$0$.其中真命题的个数为 (B)

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 例1:
(1)B 【解析】
(1)对于①,当$z\in \mathbf{R}$时,$z^{2}\geqslant 0$成立,否则不成立,如$z=\mathrm{i}$,$z^{2}=-1＜0$,所以①为假命题;对于②,$2\mathrm{i}-1=-1 + 2\mathrm{i}$,其虚部为$2$,不是$2\mathrm{i}$,所以②为假命题;对于③,$2\mathrm{i}=0 + 2\mathrm{i}$,其实部是$0$,所以③为真命题.

(2)已知复数$z = a^{2} - (2 - b)i$的实部和虚部分别是$2$和$3$,则实数$a,b$的值分别是$\pm\sqrt{2}$,5;
(3)判断下列命题的真假.
①若$x,y \in \mathbf{C}$,则$x + yi = 1 + 2i$的充要条件是$x = 1,y = 2$;
②若实数$a$与$ai$对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集在复数集中的补集是虚数集.
▶[归纳提升]

答案： 例1:
(2)$\pm\sqrt{2}$,5
(3)见解析 【解析】
(2)由题意得:$a^{2}=2$,$-(2 - b)=3$,所以$a=\pm\sqrt{2}$,$b=5$.
(3)①由于$x$,$y$都是复数,故$x + y\mathrm{i}$($x$,$y\in \mathbf{R}$)不一定是代数形式,因此不符合两个复数相等的充要条件,故①是假命题.②当$a=0$时,$a\mathrm{i}=0$为实数,故②为假命题.③由复数集的分类知,③正确,是真命题.