《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例3. 已知向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta = \frac{3\pi}{4}$，且$|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 2\sqrt{2}$.
(1) 求$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) · (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b})$；
(2) 求$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$；
(3) $\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$的夹角的余弦值.
【分析】 (1) 由向量数量积定义可求得$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}$，根据向量数量积运算律可求得结果；
(2) 结合向量数量积运算律可求得$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2$，由此可得$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$；
(3) 利用向量夹角公式直接求解即可.

答案：
(1) 由题意得: $a· b = |a||b|\cos\theta = 3×2\sqrt{2}×(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-6,\therefore(a + b)·(a - 2b)=|a|^{2}-a· b - 2|b|^{2}=9 + 6 - 16=-1$.
(2) $\because|a + b|^{2}=|a|^{2}+2a· b + |b|^{2}=9 - 12 + 8 = 5$,
$\therefore|a + b|=\sqrt{5}$.
(3) $\because a·(a + b)=|a|^{2}+a· b = 9 - 6 = 3,|a + b|=\sqrt{5}$,
$\therefore\cos\langle a,a + b\rangle=\frac{a·(a + b)}{|a|·|a + b|}=\frac{3}{3×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

对点训练3
(1) 已知单位向量$\boldsymbol{e_1}$，$\boldsymbol{e_2}$的夹角为$\alpha$，且$\cos\alpha = \frac{1}{3}$，若向量$\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e_1} - 2\boldsymbol{e_2}$，则$|\boldsymbol{a}| = \underline{ \underline{3}}$.
(2) 已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$120^{\circ}$，$|\boldsymbol{a}| = 4$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，则$|\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}| = \underline{ $$\sqrt{133}$$}$。
(3) 已知$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}$垂直，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是$\underline{ $$\frac{3\pi}{4}$$}$。
(4) 已知$|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 4$，且$(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) · (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \geq 4$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角$\theta$的取值范围是$\underline{ $$[\frac{2\pi}{3},\pi]$$}$。

答案：
(1) 3
(2) $\sqrt{133}$
(3) $\frac{3\pi}{4}$
(4) $[\frac{2\pi}{3},\pi]$

1. 若$|\boldsymbol{m}| = 4$，$|\boldsymbol{n}| = 6$，$\boldsymbol{m}$与$\boldsymbol{n}$的夹角为$135^{\circ}$，则$\boldsymbol{m} · \boldsymbol{n} =$ (C)

A.$12$
B.$12\sqrt{2}$
C.$-12\sqrt{2}$
D.$-12$

答案： 1. C

2. 在等腰直角三角形$ABC$中，若$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = \sqrt{2}$，则$\overrightarrow{BA} · \overrightarrow{BC}$的值等于 (B)

A.$-2$
B.$2$
C.$-2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 2. B

3. 已知$|\boldsymbol{a}| = 6$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -12$，则向量$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影数量为 (A)

A.$-4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$

答案： 3. A

4. 已知非零向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$|\boldsymbol{a}| = 2|\boldsymbol{b}|$，且$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为 (A)

A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{\pi}{6}$
C.$\frac{5\pi}{6}$
D.$\frac{2\pi}{3}$

答案： 4. A

5. 已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$30^{\circ}$，且$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{3}$，$|\boldsymbol{b}| = 1$，求向量$\boldsymbol{p} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{q} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$的夹角$\theta$的余弦值.

答案： $p· q=(a + b)·(a - b)$
$=a^{2}-b^{2}=|a|^{2}-|b|^{2}=3 - 1 = 2$.
又因为$|p| = |a + b|=\sqrt{a^{2}+2a· b + b^{2}}=\sqrt{3 + 2\sqrt{3}\cos30^{\circ}+1}=\sqrt{7}$,
$|q| = |a - b|=\sqrt{a^{2}-2a· b + b^{2}}=\sqrt{3 - 2\sqrt{3}\cos30^{\circ}+1}=1$,
所以$\cos\theta=\frac{p· q}{|p||q|}=\frac{2}{\sqrt{7}×1}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

请同学们认真完成练案[21]

答案： 答案略