《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练 1
下列说法中正确的是 (D)

A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小

答案： 对点训练1:D 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确。

例 2. 某人从$A$点出发向东走了$5$米到达$B$点，然后改变方向按东北方向走了$10\sqrt{2}$米到达$C$点，到达$C$点后又改变方向向西走了$10$米到达$D$点.
(1)作出向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}$；
(2)求$\overrightarrow{AD}$的模.
【分析】 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.

答案：
例2:
(1)作出向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$，如图所示:

(2)由题意得，$\triangle BCD$是直角三角形，其中$\angle BDC=90^{\circ}$，$BC=10\sqrt{2}$米，$CD=10$米，所以$BD=10$米。$\triangle ABD$是直角三角形，其中$\angle ABD=90^{\circ}$，$AB=5$米，$BD=10$米，所以$AD=\sqrt{5^{2}+10^{2}}=5\sqrt{5}$(米)，所以$|\overrightarrow{AD}|=5\sqrt{5}$。

在如图的方格纸中，画出下列向量.
(1)$|\overrightarrow{OA}| = 3$，点$A$在点$O$的正西方向；
(2)$|\overrightarrow{OB}| = 3\sqrt{2}$，点$B$在点$O$北偏西$45^{\circ}$方向；
(3)求出$|\overrightarrow{AB}|$的值.

答案：
对点训练2:取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，
(1)
(2)的向量如图所示。

(3)由图知，$\triangle AOB$是等腰直角三角形，所以$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{|\overrightarrow{OB}|^{2}-|\overrightarrow{OA}|^{2}}=3$。