《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 三角形的面积公式
(1)$S = \frac{1}{2}a · h_a$($h_a$为$a$边上的高)；
(2)$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}ac\sin B$；
(3)$S = \frac{1}{2} · r ·$($r$为内切圆半径).

答案： 知识点1
(2)bcsin A
(3)(a + b + c)

知识点2 余弦定理的形式
形式一：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$，$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$，$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.
形式二：$\cos A =$$\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\cos B =$$\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
知识点3 正弦定理的形式
形式一：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =$2R($R$为外接圆半径).
形式二：$a =$2Rsin A，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$.
形式三：$a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$.
形式四：$\sin A = \frac{a}{2R}$，$\sin B = \frac{b}{2R}$，$\sin C = \frac{c}{2R}$.

答案： 知识点2 $\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$
知识点3 2R 2Rsin A

例1. 如图所示，在梯形$ABCD$中，$AD // BC$，$AB = 5$，$AC = 9$，$\angle BCA = 30°$，$\angle ADB = 45°$.求$BD$的长.

归纳提升：
解决与三角形长度有关的问题的策略
▶ [归纳提升]
(1) 若已知条件在同一个三角形中，则直接利用正、弦定理求解.
(2) 若已知条件及所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.

答案： 例1:在△ABC中,AB = 5,AC = 9,∠BCA = 30°.
由正弦定理得$\frac {AB}{sin \angle BCA}$ = $\frac {AC}{sin \angle ABC}$,
∴sin ∠ABC = $\frac {ACsin \angle BCA}{AB}$ = $\frac {9sin 30°}{5}$ = $\frac {9}{10}$.
∵AD//BC,
∴∠BAD = 180° - ∠ABC, 于是 sin ∠BAD = sin(180° - ∠ABC) = sin ∠ABC = $\frac {9}{10}$,
同理,在△ABD中,AB = 5,sin ∠BAD = $\frac {9}{10}$,∠ADB = 45°,
$\frac {AB}{sin 45°}$ = $\frac {BD}{sin \angle BAD}$
即$\frac {5}{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ = $\frac {BD}{\frac {9}{10}}$,解得BD = $\frac {9\sqrt {2}}{2}$.

对点训练1
如图，已知梯形$ABCD$中，$AB // CD$，$CD = 2$，$AC = \sqrt{19}$，$\angle BAD = 60°$，$DE \perp AB$，求梯形的高.

答案： 对点训练1:
∵∠BAD = 60°,
∴∠ADC = 120°,
在△ACD中,AC = $\sqrt {19}$,CD = 2,∠ADC = 120°,
由余弦定理,得
AC² = AD² + DC² - 2AD·DCcos ∠ADC,
即($\sqrt {19}$)² = AD² + 2² - 4ADcos 120°,
整理得AD² + 2AD - 15 = 0,
∴AD = 3或AD = - 5(舍去).
∴DE = ADsin 60° = $\frac {3\sqrt {3}}{2}$,所以梯形的高为$\frac {3\sqrt {3}}{2}$