《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 4. 如图，$O$是正六边形$ABCDEF$的中心，分别求出$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角.
[归纳提升]
求向量的夹角要注意：①方向性；②向量夹角的范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$.

答案： 例4:由题意知$\triangle OAB$，$\triangle OBC$，$\triangle OCD$，$\triangle OED$，$\triangle OEF$，$\triangle OFA$均为等边三角形，$\therefore\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OB}$夹角$\angle DOB=120^{\circ}$，$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{OE}$夹角$\angle DOE=60^{\circ}$。$\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{AB}$夹角等于$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{AB}$的夹角，$\therefore\overrightarrow{OD}$与$\overrightarrow{AB}$夹角$\theta=60^{\circ}$。

对点训练 4
在等边三角形$ABC$中，点$E$为$BC$的中点，则$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{EC}$的夹角为$90^{\circ}$，$\overrightarrow{AE}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$30^{\circ}$.

答案： 对点训练4:$90^{\circ}$ $30^{\circ}$ $AE\perp BC$，$AE$平分$\angle BAC$。

1. 下列说法中，正确的个数是 (B)
①零向量是没有方向的；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量$\vec{a}$与$\vec{b}$不共线，则$\vec{a}$与$\vec{b}$都是非零向量.

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.B 对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确。

2. 在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 (B)

A.一条线段
B.一条直线
C.圆上一群孤立的点
D.一个半径为$1$的圆

答案： 2.B 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线。

3. 在如图所示的半圆中，$AB$为直径，点$O$为圆心，$C$为半圆上一点，且$\angle OCB = 30^{\circ},|\overrightarrow{AB}| = 2$，则$|\overrightarrow{AC}|$等于 (A)


A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2

答案：
3.A 如图，连接AC，由$|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OB}|$，得$\angle ABC=\angle OCB=30^{\circ}$。因为C为半圆上的点，所以$\angle ACB=90^{\circ}$，所以$|\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1$。故选A。

4. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，则图中相等的向量是(1)(4)(填序号).
(1)$\overrightarrow{AD}$与$\overrightarrow{BC}$；
(2)$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OD}$；
(3)$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{BD}$；
(4)$\overrightarrow{AO}$与$\overrightarrow{OC}$.

答案： 4.
(1)
(4) 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知:$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OB}\neq\overrightarrow{OD}$；$AC\neq BD$，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$。

5. 一艘军舰从基地$A$出发向东航行了$200$海里到达基地$B$，然后改变航线向东偏北$60^{\circ}$航行了$400$海里到达$C$岛，最后又改变航线向西航行了$200$海里到达$D$岛.
(1)试作向量$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD}$；
(2)求$|\overrightarrow{AD}|$.

答案：
5.
(1)建立如图所示的直角坐标系，向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CD}$即为所求。

(2)根据题意，向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$方向相反，故向量$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{CD}$。又$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$，所以在四边形ABCD中，$AB// CD$，四边形ABCD为平行四边形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，所以$|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{BC}|=400$(海里)。