《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 复平面

答案： 知识点1 实轴 虚轴

知识点2 复数的几何意义

答案： 知识点2 一一对应 一一对应 $(a,b)$

知识点3 复数的模
(1)定义: 向量$\overrightarrow{OZ}$的模称为复数$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$的模.
(2)记法: 复数$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$的模记为$|z|$或$|a + bi|$且$|z|=$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
注意：对复数模的两点说明
①数的角度理解：复数$a + bi(a,b \in \mathbf{R})$的模$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示非负实数，可以比较大小.
②几何角度理解：表示复数的点$Z$到原点的距离. $|z_1 - z_2|$表示复数$z_1,z_2$对应的点之间的距离.

答案： 知识点3
(1)模
(2)$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

知识点4 共轭复数
若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. 复数$z$的共轭复数用$\bar{z}$表示. 当$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$时，$\bar{z} =$$a - bi$.
注意：对共轭复数模的两点说明
①在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等；
②任意一个实数的共轭复数仍是它本身.

答案： 知识点4 相等 相反数 $a - bi$

例1. 当实数$m$取什么值时，复平面内表示复数$z = (m^2 - 5m + 6) + (m^2 - 3m + 2)i$的点分别满足下列条件：
(1)与原点重合；
(2)位于直线$y = 2x$上；
(3)位于第一象限或者第三象限.
【分析】 (1)(2)(3)根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案.
▶[归纳提升]

答案： 例1:
(1)由题意得复数$z$满足$\begin{cases}m^{2}-5m + 6 = 0,\\m^{2}-3m + 2 = 0\end{cases}$时，表示的
点与原点重合，解得$m = 2$.
(2)当$m^{2}-3m + 2 = 2(m^{2}-5m + 6)$时，表示复数$z=(m^{2}-5m + 6)+(m^{2}-3m + 2)i$的点位于直线$y = 2x$上，解得$m = 2$或$m = 5$.
(3)由题意可得$\begin{cases}m^{2}-5m + 6＞0,\\m^{2}-3m + 2＞0,\end{cases}$或$\begin{cases}m^{2}-5m + 6＜0,\\m^{2}-3m + 2＜0,\end{cases}$
解$\begin{cases}m^{2}-5m + 6＞0,\\m^{2}-3m + 2＞0,\end{cases}$得$m＜1$或$m＞3$，
解$\begin{cases}m^{2}-5m + 6＜0,\\m^{2}-3m + 2＜0,\end{cases}$解集为$\varnothing$，故$m＜1$或$m＞3$.