《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练3
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南$30°$，风速为$4$米/秒，这时气象台报告实际风速为$2$米/秒. 试求风的实际方向和汽车的速度大小.

答案：
对点训练3:依据物理知识,有三对相对速度,汽车对地的速度为$v_{车地}$、风对车的速度为$v_{风车}$、风对地的速度为$v_{风地}$,风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即$v_{风地}=v_{风车}+v_{车地}$

根据向量加法的平行四边形法则可知,表示向量$v_{风地}$的有向线段$\overrightarrow{AD}$是平行四边形ABDC的对角线.
$\because|\overrightarrow{AC}|=4$米/秒,$\angle ACD = 30^{\circ}$,$|\overrightarrow{AD}|=2$米/秒,
$\therefore\angle ADC = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADC$中,$|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{AC}|\cos30^{\circ}=2\sqrt{3}$(米/秒),
即风的实际方向是吹向正南方向,汽车速度的大小为$2\sqrt{3}$米/秒.

1. 在四边形$ABCD$中，若$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = 0$，$\overrightarrow{AC} · \overrightarrow{BD} = 0$，则四边形为 (D)

A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形

答案： 1.D由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=0$,得$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DC},\therefore$四边形ABCD为平行四边形.又$\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}=0$知,对角线互相垂直,故四边形为菱形,故选D.

2. 在$\triangle ABC$中，若$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB}^2 = 0$，则$\triangle ABC$的形状是 (D)

A.$\angle C$为钝角的三角形
B.$\angle B$为直角的直角三角形
C.锐角三角形
D.$\angle A$为直角的直角三角形

答案： 2.D在$\triangle ABC$中,$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AB}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0,\therefore\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC},\therefore\angle A=\frac{\pi}{2}$,则$\triangle ABC$为直角三角形,故选D.

3. 已知$\triangle ABC$的重心是$G$，$CA$的中点为$M$，且$A$、$M$、$G$三点的坐标分别是$(6,6)$，$(7,4)$，$(\frac{16}{3},\frac{8}{3})$，则$|BC|$为 (D)

A.$4\sqrt{10}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
D.$2\sqrt{10}$

答案： 3.D设$B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$,
由条件可知$\begin{cases}\frac{6 + x_2}{2}=7,\frac{6 + y_2}{2}=4,\end{cases}$
即$\begin{cases}x_2 = 8,\\y_2 = 2,\end{cases}\therefore C(8,2)$,
$\because\frac{6 + 8 + x_1}{3}=\frac{16}{3}$,$\frac{6 + 2 + y_1}{3}=\frac{8}{3}$,即$\begin{cases}x_1 = 2,\\y_1 = 0,\end{cases}\therefore B(2,0)$,
$\therefore|BC|=\sqrt{(8 - 2)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{36 + 4}=2\sqrt{10}$.

4. 已知三个力$F_1 = (3,4)$，$F_2 = (2,-5)$，$F_3 = (x,y)$，且$F_1 + F_2 + F_3 = 0$，则$F_3 =$$(-5,1)$.

答案： 4.$(-5,1)$由题设$F_1+F_2+F_3=0$,得$(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)$,
即$\begin{cases}3 + 2 + x = 0,\\4 - 5 + y = 0,\end{cases}\therefore\begin{cases}x = -5,\\y = 1,\end{cases}$
$\therefore F_3=(-5,1)$.

5. 如图所示，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$的中点. 求证：$AF \perp DE$.

答案：
5.【证明】如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则$A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),\overrightarrow{AF}=(2,1),\overrightarrow{DE}=(1,-2)$.
因为$\overrightarrow{AF}·\overrightarrow{DE}=(2,1)·(1,-2)=2 - 2 = 0$,所以$\overrightarrow{AF}\perp\overrightarrow{DE}$,即$AF\perp DE$.