《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

知识点1 向量的数量积（内积）
1. 定义：已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$，它们的夹角$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \theta$，把$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$称为向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积（或内积），记作$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}$，即$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \underline{ \underline{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta}}$$|a||b|\cos\theta$.
2. 运算结果：零向量与任一向量的数量积为$0$；当$\underline{ \underline{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}}$为锐角$0^{\circ}\leq\theta＜90^{\circ}$时，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＞ 0$；当$\underline{ \underline{\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle}}$为钝角 时，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} ＜ 0$；当$\theta$0$= 90^{\circ}$时，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} =$0$\underline{$0$\underline{0}}$；当$\theta = 0^{\circ}$时，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \underline{ \underline{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}}$；当$\theta = 180^{\circ}$时，$\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \underline{ \underline{-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}}$$-|a||b|$.

答案： 1. $|a||b|\cos\theta$ 2. $0^{\circ}\leq\theta＜90^{\circ}$ $90^{\circ}＜\theta\leq180^{\circ}$ 0 $|a||b| - |a||b|$

知识点2 投影向量和投影数量
1. 向量的投影：如图所示：$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\angle AOB = \theta(0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ})$叫作向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角，记为$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$. 过点$B$作$BB_1$垂直于直线$OA$，垂足为$B_1$，则向量$\overrightarrow{OB_1}$称为向量$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$方向上的 投影向量投影向量，$\overrightarrow{OB_1} = |b|\cos\theta$叫作向量$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$方向上的 投影数量投影数量.

2. 向量数量积的几何意义
数量积$\boldsymbol{a} ·$$|a|$$\boldsymbol{b}$等于$\boldsymbol{a}$的长度$|\boldsymbol{a}|$与$\boldsymbol{b}$在$\boldsymbol{a}$方向上的投影数量$|\boldsymbol{b}|\cos\theta$的 乘积乘积，或$\boldsymbol{b}$的长度$|\boldsymbol{b}|$与$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影数量$|\boldsymbol{a}|\cos\theta$$|a|\cos\theta$的乘积.

答案： 1. 投影向量 投影数量 2. $|a|$ 乘积 $|b|$ $|a|\cos\theta$

知识点3 数量积的运算性质

答案： $b· a·(\lambda b)$ $a· b + a· c$ $|a· b|$ $|a||b| (|a||b|\neq0)$ $\frac{a· b}{|a||b|}$ $a// b$