《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 2. 化简下列各式：
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FA}$;
(2)$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DE})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EA}$.
【分析】 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和.

答案： 例2:
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=0$.
(2)$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DE})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE})+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=0$.

▶[归纳提升]
对点训练 2
(1) 向量$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{OM}=$
A.$\overrightarrow{BC}$
B.$\overrightarrow{AB}$
C.$\overrightarrow{AC}$
D.$\overrightarrow{AM}$
(2) 化简$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$.

答案： 对点训练2:
(1)$C$
(2)$0$
(1)$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$,故选$C$.
(2)原式$=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=0$.