《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练 2
已知四边形$ABCD$是复平面上的平行四边形，顶点$A, B, C$分别对应于复数$-5 - 2i, -4 + 5i, 2$，求点$D$对应的复数及对角线$AC, BD$的长.

答案：
如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，
所以有$z_M=\frac{z_A + z_C}{2}=\frac{z_B + z_D}{2}$

所以$z_D=z_A + z_C - z_B=1-7i$，
因为$\overrightarrow{AC}:z_C - z_A=2-(-5-2i)=7+2i$，
所以$|\overrightarrow{AC}|=|7 + 2i|=\sqrt{7^{2}+2^{2}}=\sqrt{53}$，
因为$\overrightarrow{BD}:z_D - z_B=(1-7i)-(-4+5i)=5-12i$，
所以$|\overrightarrow{BD}|=|5 - 12i|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$.
故点D对应的复数是1-7i，AC与BD的长分别是$\sqrt{53}$和13.

例 3. (1) 如果复数$z$满足$|z + i| + |z - i| = 2$，那么$|z + i + 1|$的最小值是 (A)
A. $1$
B. $\frac{1}{2}$
C. $2$
D. $\sqrt{5}$
(2) 若复数$z$满足$|z + \sqrt{3} + i| \leq 1$，求$|z|$的最大值和最小值.
【分析】 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.

答案：

(1)A
(2)见解析
【解析】
(1)设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z₁,Z₂,Z₃，
因为$|z+i|+|z-i|=2$，
$|Z₁Z₂|=2$，所以点Z的集合为线段Z₁Z₂.
问题转化为：动点Z在线段Z₁Z₂上移动，求$|ZZ₃|$的最小值，因为$|Z₁Z₃|=1$.
所以$|z+i+1|_{min}=1$.
(2)如图所示，$|OM|=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}=2$.

所以$|z|_{max}=2+1=3$，$|z|_{min}=2-1=1$.

对点训练 3
若本例(2)条件改为已知$|z| = 1$且$z \in \mathbf{C}$，求$|z - 2 - 2i|(i$为虚数单位$)$的最小值.

答案：
因为$|z|=1$且$z\in C$，作图如图：

所以$|z-2-2i|$的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以$|z-2-2i|$的最小值为$|OP|-1=2\sqrt{2}-1$.

1. 已知$z_1 = a + bi, z_2 = c + di$，若$z_1 - z_2$是纯虚数，则有 (A)

A.$a - c = 0$且$b - d \neq 0$
B.$a - c = 0$且$b + d \neq 0$
C.$a + c = 0$且$b - d \neq 0$
D.$a + c = 0$且$b + d \neq 0$

答案： 1. A z₁-z₂=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，因为z₁-z₂是纯虚数，所以a-c=0且b-d≠0.

2. $[(a - b) - (a + b)i] - [(a + b) - (a - b)i]$等于(A)

A.$-2b - 2bi$
B.$-2b + 2bi$
C.$-2a - 2bi$
D.$-2a - 2ai$

答案： 2. A 原式=[(a-b)-(a+b)]+[-(a+b)+(a-b)]i=-2b-2bi.

3. 复数$(1 + 2i) - (3 - 4i)$对应的点在 (B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 3. B 由复数(1+2i)-(3-4i)=-2+6i，可得复数在复平面内对应的点(-2,6)位于第二象限。故选B。

4. 若复数$z$满足$3z + \overline{z} = 1 + i$，其中$i$为虚数单位，则$z =$$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$.

答案： 4. $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$ 设$z=a+bi(a,b\in R)$，则$3(a+bi)+a-bi=1+i⇒4a=1$且$2b=1⇒z=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$.

5. 在复平面内，复数$-3 - i$与$5 + i$对应的向量分别是$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$，其中$O$是原点，求向量$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BA}$对应的复数及$A, B$两点间的距离.

答案： 5. 向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$对应的复数为(-3-i)+(5+i)=2.因为$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$，所以向量$\overrightarrow{BA}$对应的复数为(-3-i)-(5+i)=-8-2i.
所以A，B两点间的距离为$|-8-2i|=\sqrt{(-8)^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{17}$.