《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练1
已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1, -2)$，求 $\frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ 的值.

答案： 对点训练1$\because x=1,y=-2,\therefore \tan \alpha =\frac {-2}{1}=-2$.
$\therefore \frac {2\tan \alpha}{1-\tan ^{2}\alpha }=\frac {-4}{-3}=\frac {4}{3}$.

例2. 化简：$\frac{\tan(540° - \alpha) \tan(\alpha - 270°) \tan(\alpha + 180°)}{\tan(\alpha - 180°) \tan(810° + \alpha) \tan(-\alpha - 360°)}$.
【分析】利用诱导公式均化为 $\alpha$ 的三角函数.

答案： 例2：原式$=\frac {\tan(-\alpha)\tan(\alpha +90^{\circ})\tan \alpha}{-\tan(180^{\circ}-\alpha)\tan(90^{\circ}+\alpha)\tan(-\alpha)}$
$=-\tan \alpha · \left(-\frac {1}{\tan \alpha}\right)· (-\tan \alpha)$
$=\tan \alpha · \left(-\frac {1}{\tan \alpha}\right)· (-\tan \alpha)=1$.

对点训练2
求 $\frac{\tan 225° + \tan 750°}{\tan(-30°) - \tan(-45°)}$ 的值.

答案： 对点训练2：原式$=\frac {\tan(180^{\circ}+45^{\circ})+\tan(720^{\circ}+30^{\circ})}{-\tan30^{\circ}+\tan45^{\circ}}=$
$\frac {\tan45^{\circ}+\tan30^{\circ}}{-\tan30^{\circ}+\tan45^{\circ}}=\frac {1+\frac {\sqrt {3}}{3}}{-\frac {\sqrt {3}}{3}+1}=2+\sqrt {3}$.

例3. 已知 $\tan \alpha = 2$，计算：
(1) $\frac{2\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + 2\cos \alpha}$；
(2) $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha - 2\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}$.

答案： 例3：
(1)$\frac {2\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+2\cos \alpha}=\frac {2\tan \alpha-1}{\tan \alpha+2}=\frac {3}{4}$
(2)$\frac {\sin^{2}\alpha+\sin \alpha\cos \alpha-2\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac {\tan^{2}\alpha+\tan \alpha-2}{\tan^{2}\alpha+1}=\frac {4}{5}$

对点训练3
已知 $\tan \theta = -\frac{3}{4}$. 求下列各式的值：
(1) $\frac{\sin(\theta + \frac{3\pi}{2}) + \cos(\theta - \frac{\pi}{2})}{2\sin(\pi + \theta) - \cos(\theta - \pi)}$；
(2) $2 + \frac{\sin \theta \cos \theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}$.

答案： 对点训练3：
(1)原式$=\frac {-\cos\theta+\sin\theta}{-2\sin\theta+\cos\theta}=\frac {-1+\tan\theta}{-2\tan\theta+1}=$
$-1-\frac {3}{4}+1=\frac {7}{10}$
(2)原式$=2+\frac {\tan\theta-1}{\tan^{2}\theta+1}=2+\frac {\frac {3}{4}-1}{\frac {9}{16}+1}=\frac {22}{25}$