《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 1. (1) 化简: $\sin \frac{\pi}{12} - \cos \frac{\pi}{12}$;

答案： 例$1:(1)\sin\frac{\pi}{12}-\cos\frac{\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{12}-\sin\frac{5\pi}{12}$
$=\sin\frac{\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}}{2}$
$=2\cos\frac{\pi}{4}\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) 求值: $\sin 20° \cos 70° + \sin 10° \sin 50°$.
[归纳提升]

答案： $(2)\sin20°\cos70°+\sin10°\sin50°=\frac{1}{2}(\sin90°-\sin50°)-\frac{1}{2}(\cos60°-\cos40°)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\sin50°+\frac{1}{2}\cos40°=\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}\sin50°+\frac{1}{2}\sin50°=\frac{1}{4}$

对点训练 1
求 $\sin^2 20° + \cos^2 50° + \sin 20° · \cos 50°$ 的值.

答案： 对点训练1:原式$=-\frac{1}{2}(\cos40°-\cos0°)+\frac{1}{2}(\cos100°$
$+\cos0°)+\frac{1}{2}(\sin70°-\sin30°)$
$=1+\frac{1}{2}(\cos100°-\cos40°)+\frac{1}{2}\sin70°-\frac{1}{4}$
$=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}(-2\sin70°\sin30°)+\frac{1}{2}\sin70°$
$=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\sin70°+\frac{1}{2}\sin70°=\frac{3}{4}$

例 2. 已知 $\cos \alpha - \cos \beta = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha - \sin \beta = -\frac{1}{3}$, 求 $\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$ 的值.
[归纳提升]

答案： 例$2:\because\cos\alpha-\cos\beta=\frac{1}{2},$
$\therefore-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{1}{2},①$
又$\because\sin\alpha-\sin\beta=-\frac{1}{3},$
$\therefore2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}=-\frac{1}{3},②$
$\because\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\neq0,$
$\therefore$由①②得$-\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=-\frac{3}{2},$
$\therefore\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{3}{2}$

对点训练 2
已知 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{2}{3}$, $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$, 则 $\sin \alpha \cos \beta =$$\frac{13}{30}$.

答案： 对点训练$2:\frac{13}{30}$因为$\sin(\alpha+\beta)=\frac{2}{3},\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{5},$所
以$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta=\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{13}{15},$所以
$\sin\alpha\cos\beta=\frac{13}{30}$