《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. 在某地抗震救灾中，一架飞机从$A$地按北偏东$35^{\circ}$的方向飞行$800\ km$到达$B$地接到受伤人员，然后又从$B$地按南偏东$55^{\circ}$的方向飞行$800\ km$送往$C$地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【分析】 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解.

答案：
例3:如图所示,设$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$分别表示飞机从$A$地按北偏东$35^{\circ}$的方向飞行$800 km$,从$B$地按南偏东$55^{\circ}$的方向飞行$800 km$.

则飞机飞行的路程指的是$\vert\overrightarrow{AB}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert$;两次飞行的位移的和指的是$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
依题意,有$\vert\overrightarrow{AB}\vert+\vert\overrightarrow{BC}\vert=800 + 800 = 1600( km)$.
又$\alpha = 35^{\circ},\beta = 55^{\circ},\angle ABC = 35^{\circ}+55^{\circ}=90^{\circ}$.
所以$\vert\overrightarrow{AC}\vert=\sqrt{\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{BC}\vert^{2}}=\sqrt{800^{2}+800^{2}}=800\sqrt{2}( km)$.
其中$\angle BAC = 45^{\circ}$,所以方向为北偏东$35^{\circ}+45^{\circ}=80^{\circ}$.
从而飞机飞行的路程是$1600 km$,两次飞行的位移和的大小为$800\sqrt{2} km$,方向为北偏东$80^{\circ}$.

▶[归纳提升]
对点训练 3
如图，用两根绳子把重$10\ N$的物体$W$吊在水平杆子$AB$上，$\angle ACW = 150^{\circ}$，$\angle BCW = 120^{\circ}$，求$A$和$B$处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).

答案： 对点训练3:如图,设$\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CF}$分别表示$A,B$所受的力,$10 N$的重力用$\overrightarrow{CG}$表示,则$\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CG}$.
易得$\angle ECG = 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$,
$\angle FCG = 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$,
$\therefore \vert\overrightarrow{CE}\vert=\vert\overrightarrow{CG}\vert\cos 30^{\circ}=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.
$\vert\overrightarrow{CF}\vert=\vert\overrightarrow{CG}\vert\cos 60^{\circ}=10×\frac{1}{2}=5$.
$\therefore A$处所受的力的大小为$5\sqrt{3} N,B$处所受的力的大小为$5 N$.

1. 若$O$、$E$、$F$是不共线的任意三点，则以下各式成立的是(B)

A.$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OE}$
B.$\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}$
C.$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{OE}$
D.$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{EO}$

答案： 1.$B$ 可以画出图形,用三角形法则找出正确答案.

2. 已知$P$为$\triangle ABC$所在平面内一点，当$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}$成立时，点$P$位于(D)

A.$\triangle ABC$的$AB$边上
B.$\triangle ABC$的$BC$边上
C.$\triangle ABC$的内部
D.$\triangle ABC$的外部

答案：
2.$D$ 如图,$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PC}$,则$P$在$\triangle ABC$的外部.

3. 作用在同一物体上的两个力$F_1 = 60\ N$，$F_2 = 60\ N$，当它们的夹角为$120^{\circ}$时，则这两个力的合力大小为(B)

A.$30\ N$
B.$60\ N$
C.$90\ N$
D.$120\ N$

答案：
3.$B$ 如图所示,由平行四边形法则作出$F_1$与$F_2$的合力$F$,由题意可知$\triangle OF_1F_2$为正三角形,$\therefore F$大小为$60 N$.

4. 已知点$G$是$\triangle ABC$的重心，则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=$0.

答案：
4.$0$ 如图所示,连接$AG$并延长交$BC$于$E$点,点$E$为$BC$的中点,延长$AE$到$D$点,使$GE = ED$,
则$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD},\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}=0$,所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$.

5. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$O$是$AC$和$BD$的交点.

(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=$$\overrightarrow{AC}$；
(2)$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO}=$$\overrightarrow{AO}$；
(3)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=$$\overrightarrow{AD}$；
(4)$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=$0.

答案： 5.
(1)$\overrightarrow{AC}$
(2)$\overrightarrow{AO}$
(3)$\overrightarrow{AD}$
(4)$0$
(1)由平行四边形法则,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$;
(2)由向量加法的三角形法则,$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AO}$;
(3)由向量加法法则得,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$;
(4)由向量加法法则得,$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=0$.