《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

▶对点训练1
如图所示,已知向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}$,求作向量$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}$.

答案：
如图所示,在平面内任取一点$O$,作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{c}$,$\overrightarrow{OD}=\boldsymbol{d}$,
则$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\overrightarrow{BA}$,$\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}=\overrightarrow{DC}$.
　　　　　　

例2.化简:(1)$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})$.
(2)$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}$.
(3)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}$.
【分析】

$\begin{matrix}加减法的定义 \longrightarrow 进行向量加减法的运算 \\加减法的运算律 \end{matrix}$
▏归纳提升▕

答案：
(1)方法一(统一成加法):$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=$
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=$
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=0$.
方法二(利用减法):$(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$
$=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=0$.
方法三(利用$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$)设$O$是平面内任意一点,则$(\overrightarrow{AB}$
$-\overrightarrow{CD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})-(\overrightarrow{OD}$
$-\overrightarrow{OC})-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}$
$+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=0$.
(2)方法一:$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AD}=0$.
方法二:$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OD}=0$.
(3)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=$
$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=$
$0+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$.