《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

(2)如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle B = 6 0 ^ { \circ }$,$AB = 3$,$BC = 6$,且$\overrightarrow { A D } = \lambda \overrightarrow { B C } , \overrightarrow { A D } · \overrightarrow { A B } = - \frac { 3 } { 2 }$,则实数 $\lambda$ 的值为$\frac{1}{6}$,$M,N$ 是线段 $BC$ 上的动点,且$| \overrightarrow { M N } | = 1$,则$\overrightarrow { D M } · \overrightarrow { D N }$的最小值为$\frac{13}{2}$.

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答案：

(2)$\frac{1}{6}\frac{13}{2}$
(2)$\because\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC},\therefore AD// BC,\therefore\angle BAD=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$,
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{AB}=\lambda|\overrightarrow{BC}|·|\overrightarrow{AB}|\cos120^{\circ}$
$=\lambda×6×3×(-\frac{1}{2})=-9\lambda=-\frac{3}{2}$,
解得$\lambda=\frac{1}{6}$,
以点$B$为坐标原点，$BC$所在直线为$x$轴建立如下图所示的平面直角坐标系$xBy$,
$\because BC=6,\therefore C(6,0)$,
$\because|\overrightarrow{AB}|=3,\angle ABC=60^{\circ},\therefore A$的坐标为$A(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$,
又$\because\overrightarrow{AD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BC}$,则$D(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$,设$M(x,0)$,则$N(x + 1,0)$(其中$0\leq x\leq5$),
$\overrightarrow{DM}=(x-\frac{5}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}),\overrightarrow{DN}=(x-\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2})$,
$\overrightarrow{DM}·\overrightarrow{DN}=(x-\frac{5}{2})(x-\frac{3}{2})+(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2=x^2-4x+\frac{21}{2}=(x - 2)^2+\frac{13}{2}$,
所以，当$x=2$时,$\overrightarrow{DM}·\overrightarrow{DN}$取得最小值$\frac{13}{2}$

例4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 2$,$\angle B = \frac { \pi } { 4 }$,$D$ 是边 $BC$ 上一点.

(1)若$\angle BAD = \frac { \pi } { 2 }$,$BD = 2$,求$\angle C$;
(2)若$BD = 3 CD$,求$\triangle ACD$面积的最大值.
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答案： 例4:
(1)因为$\angle B=\frac{\pi}{4},\angle BAD=\frac{\pi}{2},BD=2$,
所以$AD=\sqrt{2}$,在$\triangle ADC$中由正弦定理得，
$\sin C=\frac{\sin\angle ADC}{AC}· AD=\frac{1}{2}$,
又$0\lt C\lt\frac{\pi}{4}$,所以$C=\frac{\pi}{6}$.
(2)在$\triangle ABC$中，由余弦定理得，$4=AB^2 + BC^2-\sqrt{2}AB· BC$
$\geqslant(2-\sqrt{2})AB· BC$.
所以$AB· BC\leqslant4 + 2\sqrt{2}$,
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB· BC\sin B\leqslant(2+\sqrt{2})×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+1$,
所以$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}\leqslant\frac{\sqrt{2}+1}{4}$
当且仅当$AB=BC=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$时，取“$=$”.
所以$\triangle ACD$面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}+1}{4}$.