《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练3
(1)方程$x^2 + 6x + 13 = 0$的一个根是
A. $-3 + 2\mathrm{i}$
B. $3 + 2\mathrm{i}$
C. $-2 + 3\mathrm{i}$
D. $2 + 3\mathrm{i}$
(2)已知$a,b \in \mathbf{R}$,且$2 + a\mathrm{i}$,$b + \mathrm{i}$($\mathrm{i}$是虚数单位)是实系数一元二次方程$x^2 + px + q = 0$的两个根,求$p$,$q$的值.

答案：
(1)A
(2)见解析
【解析】
(1)$\because \Delta = 36 - 4 × 13 = -16$,
$\therefore x = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4 i}{2} = -3 \pm 2 i$.
(2)由根与系数的关系可得
$\begin{cases} (2 + a i) + (b + i) = -p, \\ (2 + a i) · (b + i) = q, \end{cases}$
即$\begin{cases} p = -(2 + b) - (a + 1) i, \\ q = 2b - a + (2 + ab) i, \end{cases}$
因为$p,q$均为实数,所以$\begin{cases} -(a + 1) = 0, \\ 2 + ab = 0, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = -1, \\ b = 2, \end{cases}$从而有$\begin{cases} p = -4, \\ q = 5. \end{cases}$

1. 如果复数$(m^2 + 1)(1 + m\mathrm{i})$是实数,则实数$m$等于

A.$1$
B.$-1$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$

答案： 1.B $\because (m^2 + 1)(1 + m i) = (m^2 - m) + (m^3 + 1) i$是实数,$m \in$
R,$\therefore$由$a + b i(a,b \in R)$是实数的充要条件是$b = 0$,得$m^3 + 1 = 0$,即$m = -1$.

2. 已知$z = \frac{1 - \mathrm{i}}{2 + 2\mathrm{i}}$,则$z - \overline{z} =$

A.$-\mathrm{i}$
B.$\mathrm{i}$
C.$0$
D.$1$

答案： 2.A 因为$z = \frac{1 - i}{2 + 2 i} = \frac{(1 - i)(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)} = \frac{-2 i}{4} = -\frac{1}{2} i$,所以$\bar{z} = \frac{1}{2} i$,即$z - \bar{z} = - i$.故选A.

3. 已知复数$z$满足$(2 + \mathrm{i})z = 3 + 4\mathrm{i}$,则$z =$

A.$2 + \mathrm{i}$
B.$2 - \mathrm{i}$
C.$1 + 2\mathrm{i}$
D.$1 - 2\mathrm{i}$

答案： 3.A $z = \frac{3 + 4 i}{2 + i} = \frac{(3 + 4 i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = 2 + i$选A.

4. 设$z = \frac{3 - \mathrm{i}}{1 + 2\mathrm{i}}$,则$|z| =$

A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$

答案： 4.C $\because z = \frac{3 - i}{1 + 2 i} = \frac{(3 - i)(1 - 2 i)}{(1 + 2 i)(1 - 2 i)} = \frac{1 - 7 i}{5}$,
$\therefore |z| = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 + (-\frac{7}{5})^2} = \sqrt{2}$.故选C.

5. 把复数$z$的共轭复数记作$\overline{z}$,已知$(1 + 2\mathrm{i})\overline{z} = 4 + 3\mathrm{i}$,求$z$及$\frac{z}{\overline{z}}$.

答案： 5.设$z = a + b i(a,b \in R)$,则$\bar{z} = a - b i$,
由已知得:$(1 + 2 i)(a - b i) = (a + 2b) + (2a - b) i = 4 + 3 i$,由复数相等的定义知,$\begin{cases} a + 2b = 4, \\ 2a - b = 3. \end{cases}$得$a = 2,b = 1$,
$\therefore z = 2 + i$.
$\therefore \frac{z}{2 + i} = \frac{(2 + i)^2}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{3 + 4 i}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$.

知识点 1 复数的三角形式
(1)模与辐角
如图，与复数$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$对应的向量$\overrightarrow{OZ}$的模$r$称为这个复数的模，且$r =$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$.
以原点$O$为顶点，$x$轴的非负半轴为始边、向量$\overrightarrow{OZ}$所在的射线为终边的角$\theta$，称为复数$z = a + bi$的辐角.
其中$a =$$r\cos \theta$，$b =$$r\sin \theta$.
(2)复数的三角形式
任何复数$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$都可以表示为$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，
其中$r =$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$\cos\theta =$$\frac{a}{r}$，$\sin\theta =$$\frac{b}{r}$.
这个式子称为复数$z = a + bi(a,b \in \mathbf{R})$的三角形式.
当$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) \neq 0$时，$z$的辐角有无穷多个值，这些值相差$2\pi$的整数倍.

答案： 知识点1
(1)$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ $r\cos \theta$ $r\sin \theta$
(2)$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ $\frac{a}{r}$ $\frac{b}{r}$ $2\pi$