《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. 当实数a为何值时，$z = a^2 - 2a + (a^2 - 3a + 2)i$.
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线$x - y = 0$上.
【分析】根据题设条件构建方程（组）或不等式（组）求解即可.
归纳提升：
复数常设为$z = a + bi$ $(a,b\in\mathbf{R}),z\in\mathbf{R}\Leftrightarrow b =$ $0;z$为虚数$\Leftrightarrow b\neq 0;z$为纯虚数$\Leftrightarrow a = 0$且$b\neq 0$.

答案：
(1)$z \in \mathbf{R} \Leftrightarrow a^{2}-3a + 2 = 0$，解得$a = 1$或$a = 2$。
(2)$z$为纯虚数，$\begin{cases}a^{2}-2a = 0,\\a^{2}-3a + 2 \neq 0,\end{cases}$即$\begin{cases}a = 0或a = 2,\\a \neq 1且a \neq 2,\end{cases}$故$a = 0$。
(3)$z$对应的点在第一象限，
则$\begin{cases}a^{2}-2a ＞ 0,\\a^{2}-3a + 2 ＞ 0,\end{cases}$所以$\begin{cases}a ＜ 0,或a ＞ 2,\\a ＜ 1,或a ＞ 2,\end{cases}$
所以$a ＜ 0$或$a ＞ 2$。所以$a$的取值范围是$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$。
(4)依题设$(a^{2}-2a)-(a^{2}-3a + 2) = 0$，所以$a = 2$。