《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例 3. (1)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 (B)
A.$\boldsymbol{e}_1=(0,0)$，$\boldsymbol{e}_2=(1,-2)$
B.$\boldsymbol{e}_1=(-1,2)$，$\boldsymbol{e}_2=(5,7)$
C.$\boldsymbol{e}_1=(3,5)$，$\boldsymbol{e}_2=(6,10)$
D.$\boldsymbol{e}_1=(2,-3)$，$\boldsymbol{e}_2=(\frac{1}{2},-\frac{3}{4})$
(2)已知$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(3,-4)$，当$\lambda$为何值时，$\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$平行？平行时，它们是同向还是反向？
▶[归纳提升]

答案： 例3:
(1)B
(2)见解析
【解析】
(1)$A$中向量$\boldsymbol{e}_1$为零向量,$\therefore\boldsymbol{e}_1//\boldsymbol{e}_2;C$中$\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}\boldsymbol{e}_2,\therefore\boldsymbol{e}_1//\boldsymbol{e}_2;D$中$\boldsymbol{e}_1=4\boldsymbol{e}_2,\therefore\boldsymbol{e}_1//\boldsymbol{e}_2$,故选$B$.
(2)$\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\lambda(2,1)-(3,-4)=(2\lambda,\lambda)-(3,-4)=(2\lambda-3,\lambda + 4)$,
$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(2,1)+2(3,-4)=(2,1)+(6,-8)=(8,-7)$,
$\because(\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})//(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})$,
$\therefore8(\lambda + 4)+7(2\lambda-3)=0\Rightarrow22\lambda + 11 = 0\Rightarrow\lambda=-\frac{1}{2}$
$\therefore-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\left(-\frac{1}{2}×2-3,-\frac{1}{2}+4\right)=\left(-4,\frac{7}{2}\right)$,
即$\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})$.
故当$\lambda=-\frac{1}{2}$时,$\lambda\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$平行;平行时它们反向.

对点训练 3
已知向量$\boldsymbol{a}=(-3,2)$，$\boldsymbol{b}=(4,\lambda)$，若$(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})//(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$共线，则实数$\lambda$的值为 (A)

A.$-\frac{8}{3}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{7}{5}$

答案： 对点训练3:$A$ 已知$\boldsymbol{a}=(-3,2),\boldsymbol{b}=(4,\lambda)$,则$\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(9,2 + 3\lambda),2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-10,4-\lambda),\because(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})//(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$,
$\therefore9(4-\lambda)=-10(2 + 3\lambda)$,解得$\lambda=-\frac{8}{3}$,故选$A$.

1. 已知$M(2,1)$，$N(3,5)$，则$\overrightarrow{NM}$的坐标是 (B)

A.$(2,-1)$
B.$(-1,-4)$
C.$(-2,1)$
D.$(1,-2)$

答案： 1. $B\ \overrightarrow{NM}=(2,1)-(3,5)=(-1,-4)$.

2. 已知向量$\boldsymbol{a}=(2,8)$，$\boldsymbol{b}=(-4,2)$. 若$\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，则向量$\boldsymbol{c}=$ (B)

A.$(0,18)$
B.$(8,14)$
C.$(12,12)$
D.$(-4,20)$

答案： 2. $B$ 因为向量$\boldsymbol{a}=(2,8),\boldsymbol{b}=(-4,2)$,所以$\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=2(2,8)-(-4,2)=(8,14)$.故选$B$.

3. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为$1$，则向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$的坐标为 (A)


A.$(1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,-1)$
D.$(-1,2)$

答案： 3. $A$ 由图可知$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{c}=(1,2),\boldsymbol{b}=(1,-2)$,所以$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=(1,-2)$.

4. 已知向量$\boldsymbol{a}=(-1,-1)$，$\boldsymbol{b}=(-m,4m + 5)$，且$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$m$等于 (A)

A.$-1$
B.$-\frac{5}{3}$
C.$-1$或$-\frac{5}{3}$
D.$0$或$-2$

答案： 4. $A$ 由$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$得:$-(4m + 5)-m = 0,-5m - 5 = 0$,解得$m=-1$.

5. 已知$\overrightarrow{OA}=(k,2)$，$\overrightarrow{OB}=(1,2k)$，$\overrightarrow{OC}=(1 - k,-1)$，且相异三点$A$，$B$，$C$共线，则实数$k =$$-\frac{1}{4}$.

答案： 5. $-\frac{1}{4}\ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1-k,2k - 2),\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(1 - 2k,-3)$,
由题意可知$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{AC}$,所以$(-3)×(1-k)-(2k - 2)(1 - 2k)=0$,
解得$k=-\frac{1}{4}(k = 1$不合题意舍去).