《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例2. (1) 求函数$y = 1 - \cos x$的单调区间；
(2) 比较大小：$\cos \frac{15\pi}{8}$与$\cos \frac{14\pi}{9}$.
▶[归纳提升]

答案：
(1)因为$y = \cos x$在$[(2k - 1)\pi,2k\pi](k \in \mathbf{Z})$上单调递增,在$[2k\pi,(2k + 1)\pi](k \in \mathbf{Z})$上单调递减,
所以$y = 1 - \cos x$的单调递减区间是$[(2k - 1)\pi,2k\pi](k \in \mathbf{Z})$,单调递增区间是$[2k\pi,(2k + 1)\pi](k \in \mathbf{Z})$.
(2)$\cos\frac{15\pi}{8} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{8}) = \cos\frac{\pi}{8}$,
$\cos\frac{14\pi}{9} = \cos(2\pi - \frac{4\pi}{9}) = \cos\frac{4\pi}{9}$.
因为函数$y = \cos x$在$[0,\pi]$上单调递减,且$0 ＜ \frac{\pi}{8} ＜ \frac{4\pi}{9} ＜ \pi$,所以$\cos\frac{\pi}{8} ＞ \cos\frac{4\pi}{9}$,即$\cos\frac{15\pi}{8} ＞ \cos\frac{14\pi}{9}$.

▶对点训练2
(1) 已知$\alpha, \beta$为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是 (B)
A. $\sin \alpha ＜ \sin \beta$
B. $\cos \alpha ＜ \sin \beta$
C. $\cos \alpha ＜ \cos \beta$
D. $\cos \alpha ＞ \cos \beta$
(2) 将$\cos 150°, \sin 470°, \cos 760°$按从小到大排列为$\cos 150^{\circ} ＜ \cos 760^{\circ} ＜ \sin 470^{\circ}$.

答案：
(1)B
(2)$\cos 150^{\circ} ＜ \cos 760^{\circ} ＜ \sin 470^{\circ}$
(1)由题意可知$0 ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2},0 ＜ \beta ＜ \frac{\pi}{2}$,且$\alpha + \beta ＞ \frac{\pi}{2},\therefore \beta ＞ \frac{\pi}{2} - \alpha$,且$0 ＜ \frac{\pi}{2} - \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$.
$\because y = \sin x$在$[0,\frac{\pi}{2}]$上为单调递增函数,$\therefore \sin\beta ＞ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$,即$\sin\beta ＞ \cos\alpha$.故选B.
(2)$\cos 150^{\circ} ＜ 0,\sin 470^{\circ} = \sin 110^{\circ} = \cos 20^{\circ} ＞ 0,\cos 760^{\circ} = \cos 40^{\circ} ＞ 0$,且$\cos 20^{\circ} ＞ \cos 40^{\circ}$,所以$\cos 150^{\circ} ＜ \cos 760^{\circ} ＜ \sin 470^{\circ}$.

例3. 求下列函数的最大值及最小值：
(1) $y = -3\cos x + 1$；
(2) $y = 3\cos^2 x - 4\cos x + 1, x \in [\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$.
【分析】对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解.
▶[归纳提升]

答案：
(1)$\because -1 \leqslant \cos x \leqslant 1$,
又$\because$一次函数$y = -3m + 1$在$m \in \mathbf{R}$上是单调减函数,
当$\cos x = -1$时,$y_{\max} = 4$,
当$\cos x = 1$时,$y_{\min} = -2$.
(2)$y = 3\cos^{2}x - 4\cos x + 1 = 3(\cos x - \frac{2}{3})^{2} - \frac{1}{3}$.
$\because x \in [\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}],\therefore \cos x \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$,
当$\cos x = -\frac{1}{2}$,即$x = \frac{2\pi}{3}$时,$y_{\max} = \frac{15}{4}$;
当$\cos x = \frac{1}{2}$,即$x = \frac{\pi}{3}$时,$y_{\min} = -\frac{1}{4}$.
原函数在区间$[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上的最大值为$\frac{15}{4}$,最小值为$-\frac{1}{4}$.

▶对点训练3
求函数$y = \frac{\cos x - 2}{\cos x - 1}$的值域.

答案： 方法一:因为$y = \frac{\cos x - 2}{\cos x - 1} = \frac{\cos x - 1 - 1}{\cos x - 1} = 1 - \frac{1}{\cos x - 1}= 1 + \frac{1}{1 - \cos x}$,当$\cos x = -1$时,$y_{\min} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
所以函数的值域为$[\frac{3}{2}, + \infty)$.
方法二:由$y = \frac{\cos x - 2}{\cos x - 1}$得$\cos x = \frac{y - 2}{y - 1}$,
又因为$-1 \leqslant \cos x ＜ 1$,所以
$\begin{cases} \frac{y - 2}{y - 1} ＜ 1, \\ \frac{y - 2}{y - 1} \geqslant -1. \end{cases}$
所以$\begin{cases} y ＞ 1, \\ y \geqslant \frac{3}{2} \end{cases}$或$y ＜ 1$.
所以$y \geqslant \frac{3}{2}$,即函数的值域为$[\frac{3}{2}, + \infty)$.