《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练 4
求函数 $f(x) = \cos \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$, $x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 的最值.

答案： 对点训练$4:\cos(x+\frac{2\pi}{3})+\cos(x-\frac{\pi}{6})$
$=2\cos\frac{(x+\frac{2\pi}{3})+(x-\frac{\pi}{6})}{2}\cos\frac{(x+\frac{2\pi}{3})-(x-\frac{\pi}{6})}{2}$
$=2\cos(x+\frac{\pi}{4})\cos\frac{5\pi}{12},$
$\cos\frac{5\pi}{12}=\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
所以$f(x)=2\cos(x+\frac{\pi}{4})·\cos\frac{5\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}).$
因为$x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],$
所以$x+\frac{\pi}{4}\in[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}].$所以$\cos(x+\frac{\pi}{4})\in[-\frac{\sqrt{2}}{2},1],$
所以f(x)的最大值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2},$最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}×$
$(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$

1. 下列四个等式中, 不正确的是 (D)

A.$\sin x \sin y = \frac{1}{2} [\cos(x - y) - \cos(x + y)]$
B.$\cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x - y) + \cos(x + y)]$
C.$\sin x \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x - y) + \sin(x + y)]$
D.$\cos x \sin y = \frac{1}{2} [\sin(x - y) - \sin(x + y)]$

答案： $1.D \cosx\siny=\frac{1}{2}[\sin(x+y)-\sin(x-y)],$故选D.

2. $\sin(45° + A) - \sin(45° - A)$ 可化简为 (B)

A.$-\sqrt{2} \sin A$
B.$\sqrt{2} \sin A$
C.$\frac{1}{2} \sin A$
D.$-\frac{1}{2} \sin A$

答案： $2.B \sin(45°+A)-\sin(45°-A)=2\cos\frac{90°}{2}\sin\frac{2A}{2}=2\cos45°\sinA$
$=\sqrt{2}\sinA.$

3. $\sin 75° - \sin 15°$ 的值为 (B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： $3.B \sin75°-\sin15°=2\cos\frac{75°+15°}{2}\sin\frac{75°-15°}{2}=2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}=$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$故选B.

4. 化简 $\frac{\cos \alpha - \cos 3\alpha}{\sin 3\alpha - \sin \alpha}$ 的结果为 (B)

A.$\tan \alpha$
B.$\tan 2\alpha$
C.$\cot \alpha$
D.$\cot 2\alpha$

答案： 4.B 原式$=\frac{-2\sin2\alpha\sin(-\alpha)}{2\cos2\alpha\sin\alpha}=\frac{2\sin2\alpha\sin\alpha}{2\cos2\alpha\sin\alpha}=\tan2\alpha.$

5. 求证: $\sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \frac{1}{2} [\sin(2\alpha + \beta) - \sin \beta] = \sin \beta$.

答案： $sin\beta\$}
$=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha+\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha]+\$
$\frac{1}{2}\sin\beta$
$=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha]+\frac{1}{2}\sin\beta=\$
$\frac{1}{2}\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]+\frac{1}{2}\sin\beta=\sin\beta=$右边.
方法二:左边
$=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\frac{1}{2}[2\cos\frac{2\alpha+\beta+\beta}{2}\sin\frac{2\alpha+\beta-\beta}{2}]$
$=\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha$
$=\sin[(\alpha+\beta)-\alpha]=\sin\beta=$右边.