《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

例1. 将函数$f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{4}$个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数$g(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$的图象则$f(x)$的函数表达式为 (C)

A.$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{2})$
B.$f(x) = \sin 2x$
C.$f(x) = \sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{8})$
D.$f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{4})$
►[归纳提升]

答案： 例1:C 由题意可得函数$g(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位得到函数$f(x)$的图象，$g(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数$y = \sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{4})$的图象，再向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位得到函数$y = \sin[\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4}] = \sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{8})$的图象，所以$f(x) = \sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{8})$. 故选C.

对点训练1
为了得到函数$y = \sin 3x$的图象，只要把函数$y = \sin(3x - \frac{\pi}{7})$的图象 (A)

A.向左平移$\frac{\pi}{21}$个单位长度
B.向右平移$\frac{\pi}{21}$个单位长度
C.向左平移$\frac{\pi}{7}$个单位长度
D.向右平移$\frac{\pi}{7}$个单位长度

答案： 对点训练1:A 因为$y = \sin(3x - \frac{\pi}{7}) = \sin3(x - \frac{\pi}{21})$，所以只需要把函数$y = \sin(3x - \frac{\pi}{7})$的图象向左平移$\frac{\pi}{21}$个单位长度，就可以得到函数$y = \sin3x$的图象. 故选A.

例2. 已知函数$f(x) = \sin(\omega x + \varphi - \frac{\pi}{6}) + 1(0 ＜ \varphi ＜ \pi, \omega ＞ 0)$为偶函数，且函数$f(x)$的图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{\pi}{2}$.
(1) 求$f(\frac{\pi}{8})$的值；
(2) 将函数$f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数$g(x)$的图象，求函数$g(x)$的单调递减区间.

答案： 例2:
(1)因为$f(x)$为偶函数，所以$\varphi - \frac{\pi}{6} = k\pi + \frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$，即$\varphi = k\pi + \frac{2\pi}{3}(k \in \mathbf{Z})$，又$0 ＜ \varphi ＜ \pi$，所以$\varphi = \frac{2\pi}{3}$.
故$f(x) = \sin(\omega x + \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) + 1 = \cos\omega x + 1$，因为函数$f(x)$图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{\pi}{2}$，所以$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2 × \frac{\pi}{2}$，解得$\omega = 2$.
因此$f(x) = \cos2x + 1$，故$f(\frac{\pi}{8}) = \cos\frac{\pi}{4} + 1 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$.
(2)将$f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，得到函数$f(x - \frac{\pi}{6})$的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到$f(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6})$的图象，所以$g(x) = f(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) + 1$，由$2k\pi \leqslant \frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \leqslant 2k\pi + \pi(k \in \mathbf{Z})$，解得$4k\pi + \frac{2\pi}{3} \leqslant x \leqslant 4k\pi + \frac{4\pi}{3}(k \in \mathbf{Z})$，故函数$g(x)$的单调递减区间是$[4k\pi + \frac{2\pi}{3},4k\pi + \frac{4\pi}{3}](k \in \mathbf{Z})$.