《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 在$\triangle ABC$中，已知$a = 9,b = 2\sqrt{3},C = 150^{\circ}$，则$c$等于 (D)

A.$\sqrt{39}$
B.$8\sqrt{3}$
C.$10\sqrt{2}$
D.$7\sqrt{3}$

答案： 1.D 由余弦定理得
$c=\sqrt{9^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}-2 × 9 × 2 \sqrt{3} × \cos 150^{\circ}}$
$=\sqrt{147}=7 \sqrt{3}$.

2. 在$\triangle ABC$中，已知$a^{2} = b^{2} + c^{2} + bc$，则角$A$等于 (C)

A.$60^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

答案： 2.C 由$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=-\frac{1}{2},\therefore A=120^{\circ}$.

3. 在$\triangle ABC$中，已知$\cos A = \frac{b}{c}$($a,b,c$分别为角$A,B,C$的对边)，则$\triangle ABC$为 (C)

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 3.C 由余弦定理可得$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b}{c}$,即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,所以
$\triangle ABC$为直角三角形.

4. 在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$a = 1$，$b = \sqrt{7},c = \sqrt{3}$，则$B =$$\frac{5\pi}{6}$.

答案： 4.$\frac{5 \pi}{6}$ $\cos B=\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}=\frac{3+1-7}{2 × \sqrt{3} × 1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,
又$B \in(0, \pi), \therefore B=\frac{5 \pi}{6}$.

5. 在$\triangle ABC$中，$A + C = 2B,a + c = 8,ac = 15$，求$b$.

答案： 5.在$\triangle ABC$中,
$\because A+C=2B, A+B+C=180^{\circ}$,
$\therefore B=60^{\circ}$.
由余弦定理,得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=(a+c)^{2}-2 a c-$
$2 a c \cos B=8^{2}-2 × 15-2 × 15 × \frac{1}{2}=19. \therefore b=\sqrt{19}$.

知识点 1 正弦定理

说明：正弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形.
(2)结构特征：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦.
(3)主要作用：正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题.

答案： 正弦；$\frac{b}{\sin B}$；$\frac{c}{\sin C}$

知识点 2 正弦定理的常见变形
(1)$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，$c = 2R\sin C$（$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径）.
(2)$\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$（$R$为$\triangle ABC$外接圆的半径）.
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即$a:b:c = \sin A:\sin B:\sin C$.
(4)$\frac{a + b + c}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
(5)$a\sin B = b\sin A$，$a\sin C = c\sin A$，$b\sin C = c\sin B$.
说明：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.

答案： 请提供具体的题目内容，以便我按照要求进行解答。