《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

对点训练3
函数$y = \sin(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0, 0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2})$在$x \in (0, 7\pi)$内只取到一个最大值和一个最小值，且当$x = \pi$时最大值为1，当$x = 6\pi$时，最小值为 -1.
(1) 求此函数的解析式；
(2) 求此函数的单调递增区间.

答案： 对点训练3:
(1)由题意得$\frac{1}{2}T = 5\pi$，所以$T = 10\pi$，所以$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{1}{5}$，则$y = \sin(\frac{1}{5}x + \varphi)$.
因为点$(\pi,1)$在此函数图象上，则$\sin(\frac{\pi}{5} + \varphi) = 1$，又因为$0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$，有$\varphi = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10}$，所以$y = \sin(\frac{1}{5}x + \frac{3\pi}{10})$
(2)当$- \frac{\pi}{2} + 2k\pi \leqslant \frac{1}{5}x + \frac{3\pi}{10} \leqslant \frac{\pi}{2} + 2k\pi,k \in \mathbf{Z}$，即$- 4\pi + 10k\pi \leqslant x \leqslant \pi + 10k\pi,k \in \mathbf{Z}$时，函数$y = \sin(\frac{1}{5}x + \frac{3\pi}{10})$单调递增. 所以此函数的单调递增区间为$[- 4\pi + 10k\pi,\pi + 10k\pi](k \in \mathbf{Z})$.

1. 将函数$y = \sin x$的图象向左平移$\frac{\pi}{4}$个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的函数图象的解析式是 (D)

A.$y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$
B.$y = \sin(x + \frac{\pi}{4}) - 2$
C.$y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) - 2$
D.$y = \sin(x + \frac{\pi}{4}) + 2$

答案： 1.D

2. 函数$y = \sin(-2x), x \in [0, 2\pi]$的简图是 (D)


A.
B.
C.
D.

答案： 2.D $y = \sin( - 2x) = - \sin2x,x \in [0,2\pi]$，所以它的周期是$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$，排除A,B;$y = - \sin2x$的图象可由$y = \sin2x$的图象关于$x$轴对称得到，故选D.

3. 将函数$f(x) = \sin(\frac{2\pi}{3} - 2x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 (B)

A.$x = \frac{\pi}{2}$
B.$x = \frac{\pi}{4}$
C.$x = -\frac{\pi}{6}$
D.$x = \frac{\pi}{3}$

答案： 3.B 将函数$f(x) = \sin(\frac{2\pi}{3} - 2x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度可得$g(x) = \sin(\pi - 2x) = \sin2x$；令$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbf{Z}$，即其对称轴方程为$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2},k \in \mathbf{Z}$，当$k = 0$时，$x = \frac{\pi}{4}$. A、C、D均不符合要求. 故选B.

4. 已知函数$y = \sin(\frac{1}{5}x + \frac{\pi}{7})$，则该函数的最小正周期、初相分别是$10\pi,\frac{\pi}{7}$.

答案： 4.$10\pi,\frac{\pi}{7}$ 由函数$y = \sin(\frac{1}{5}x + \frac{\pi}{7})$的解析式知，最小正周期为$T = \frac{2\pi}{|\omega|} = 10\pi$，初相为$\frac{\pi}{7}$.

5. 已知函数$y = \sin(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0)$在一个周期内，当$x = \frac{\pi}{12}$时有最大值1，当$x = \frac{7\pi}{12}$时有最小值 -1，则$\omega =$2.

答案： 5.2 由题意知$T = 2 × (\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \pi$，所以$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2$.