《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学必修第二册北师大版》

1. 作出函数$y = \sqrt{2}\sin\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right)$在$x \in \left[ \frac{\pi}{8},\frac{9\pi}{8} \right]$上的图象.

答案：
令X = 2x - $\frac{\pi}{4}$,列表如下：
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline X & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline x & \frac{\pi}{8} & \frac{3\pi}{8} & \frac{5\pi}{8} & \frac{7\pi}{8} & \frac{9\pi}{8} \\ \hline y & 0 & \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} & 0 \\ \hline \end{array}$
描点连线得图象如图所示.

例2. 如图所示的是函数$y = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| ＜ \pi)$在一个周期内的图象，试确定$A$，$\omega$，$\varphi$的值，并求出函数的解析式.
【分析】 结合图象先求出$A$，$T$，再利用待定系数法或图象变换法求解.
[归纳提升]

答案： 方法一：(逐一定参法)由图象知振幅A = 3,
∵T = $\frac{5\pi}{6}$ - (-$\frac{\pi}{6}$) = π,
∴ω = $\frac{2\pi}{T}$ = 2.
∵图象经过点(-$\frac{\pi}{6}$,0),
∴可令-$\frac{\pi}{6}$ · 2 + φ = 0,
解得φ = $\frac{\pi}{3}$,
∴y = 3sin(2x + $\frac{\pi}{3}$).
方法二：(待定系数法)由图象知A = 3,
∵图象过点($\frac{\pi}{3}$,0)和($\frac{5\pi}{6}$,0),
根据“五点法”作图原理(以上两点可判定为“五点法”中的第三点和第五点),
则$\begin{cases} \frac{\pi}{3} · \omega + \varphi = \pi, \\ \frac{5\pi}{6} · \omega + \varphi = 2\pi, \end{cases}$解得ω = 2,φ = $\frac{\pi}{3}$,
∴y = 3sin(2x + $\frac{\pi}{3}$).
方法三：(图象变换法)由A = 3,T = π,图象经过点(-$\frac{\pi}{6}$,0)可知,图象可由y = 3sin2x向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位得到,
∴函数的解析式为y = 3sin2(x + $\frac{\pi}{6}$),即y = 3sin(2x + $\frac{\pi}{3}$).

2. 函数$y = \sin(\omega x + \varphi)(x \in \mathbf{R},\omega ＞ 0,0 \leq \varphi ＜ 2\pi)$的部分图象如图，则 (C)


A.$\omega = \frac{\pi}{2},\varphi = \frac{\pi}{4}$
B.$\omega = \frac{\pi}{3},\varphi = \frac{\pi}{6}$
C.$\omega = \frac{\pi}{4},\varphi = \frac{\pi}{4}$
D.$\omega = \frac{\pi}{4},\varphi = \frac{5\pi}{4}$

答案： 2.C 由所给图象可知,$\frac{T}{4}$ = 2,
∴T = 8.
又
∵T = $\frac{2\pi}{\omega}$,
∴ω = $\frac{\pi}{4}$.
∵图象在x = 1处取得最高点,
∴$\frac{\pi}{4}$ + φ = $\frac{\pi}{2}$,
∴φ = $\frac{\pi}{4}$.